Question

16．如图，在平面直角坐标系中，A，B两点的坐标分别是（0，4），（0，-4）． 点P（p，0）是x轴上一个动点，过点B作直线BC⊥AP于点D，过点P作PQ∥y轴，交BC于点Q． 当p≠0时，直线BC与x轴交于点C．
（1）当p=2时，求点C的坐标及直线BC的解析式；
（2）点P在x轴上运动时，点Q运动的路线是一条抛物线y=ax²+c，请选取适当的点Q，求出抛物线的解析式；
（3）①是否存在点P，使△OPD为等腰三角形？若存在，请求出点P横坐标p的值；若不存在，请说明理由．
②在（2）的条件下，如果抛物线交x轴于E，F两点（点E在点F左侧），过抛物线的顶点和点E作直线l，设点M（m，n）为l上一个动点． 请直接写出m在什么范围内取值时，△EMF钝角三角形．

Answer 1

分析 （1）直接利用相似三角形的判定方法得出△OAP∽△OCB，进而得出C点坐标，再利用待定系数法求一次函数解析式即可；
（2）首先得出Q点坐标，再利用待定系数法求二次函数解析式即可；
（3）①分别利用当OP=PD时，D点的位置变化，利用勾股定理以及一次函数图象上点的坐标性质，分别求出P点坐标即可；
②利用图象得出当m=0或m=4时，△EMF是直角三角形，进而求出△EMF是钝角三角形时m的取值范围．

解答 解：（1）∵∠CPD=∠APO，∠CPD=∠CBO，
∴∠APO=∠CBO，
又∵∠AOP=∠COB，
∴△OAP∽△OCB，
∴$\frac{OP}{OB}$=$\frac{OA}{OC}$，
即 $\frac{2}{4}$=$\frac{4}{OC}$，
解得：OC=8，
∴C点坐标为（8，0）．
由B（0，-4），C（8，0），
设直线BC的解析式为：y=kx+b，则$\left\{\begin{array}{l}{b=-4}\\{8k+b=0}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=\frac{1}{2}}\\{b=-4}\end{array}\right.$
故直线BC的解析式为：y=$\frac{1}{2}$x-4；

（2）∵直线BC的解析式为：y=$\frac{1}{2}$x-4，直线BC⊥AP于点D，
∴直线AP的解析式为：y=-2x+4，
当y=0，则x=2，
故Q点横坐标为：2，则x=2时，y=$\frac{1}{2}$×2-4=-3，
则Q（2，-3），
∵B（0，-4），
∴设抛物线解析式为：y=ax²+c，
则$\left\{\begin{array}{l}{c=-4}\\{4a-4=-3}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{a=\frac{1}{4}}\\{c=-4}\end{array}\right.$
故抛物线的解析式为：y=$\frac{1}{4}$x²-4；

（3）①如图1，当OP=PD时，设P（a，0）则OP=a，AP=$\sqrt{{a}^{2}+16}$，
在△AOP和△CDP中
∵$\left\{\begin{array}{l}{∠AOP=∠CPD}\\{OP=PD}\\{∠APO=∠CPD}\end{array}\right.$，
∴△AOP≌△CDP（ASA），
∴AP=PC=OC-OP=8-a，
可得直线AP的解析式为：y=-$\frac{4}{a}$x+4，BC的解析式为：y=$\frac{a}{4}$x-4，
当y=0，则x=$\frac{16}{a}$，
则$\sqrt{{a}^{2}+16}$=$\frac{16}{a}$，
解得：a=$\frac{4\sqrt{3}}{3}$，
同理可得：当P在x轴负半轴上时，a=-$\frac{4\sqrt{3}}{3}$，

如图2，当OD=DP时，设P（b，0），可得直线AP的解析式为：y=-$\frac{4}{b}$x+4，BC的解析式为：y=$\frac{b}{4}$x-4，
由题意可得：D为AP的中点，当x=$\frac{b}{2}$时，y=$\frac{{b}^{2}}{8}$-4，
∵AO=4，则y=$\frac{{b}^{2}}{8}$-4=2，
解得：b=±4$\sqrt{3}$，
综上所述：P点的横坐标为：$\frac{4\sqrt{3}}{3}$，-$\frac{4\sqrt{3}}{3}$，4$\sqrt{3}$，-4$\sqrt{3}$；

②如图3，∵y=$\frac{1}{4}$x²-4=0时，解得：x₁=4，x₂=-4，
∴EO=FO=OQ=4，
∴△EQF是直角三角形，
∴当m=0或m=4时，△EMF是直角三角形，
∴当m＜0且m≠-4，或者m＞4时，△EMF是钝角三角形．

点评 此题主要考查了二次函数综合以及相似三角形的判定与性质和勾股定理、待定系数法求一次函数解析式等知识，利用D点位置的变化得出P点坐标是解题关键．