Question

6．如图，在菱形ABCD中，P是对角线AC上任一点（不与A，C重合），连接BP，DP，过P作PE∥CD交AD于E，过P作PF∥AD交CD于F，连接EF．
（1）求证：△ABP≌△ADP；
（2）若BP=EF，求证：四边形EPFD是矩形．

Answer 1

分析 （1）根据菱形的性质得出∠DAP=∠PAB，AD=AB，再利用全等三角形的判定得出△ABP≌△ADP即可；
（2）先证明四边形EPFD是平行四边形，再由全等三角形的性质得出BP=DP，由已知证出DP=EF，即可得出结论．

解答 （1）证明：∵点P是菱形ABCD对角线AC上的一点，
∴∠DAP=∠PAB，AD=AB，
∵在△APB和△APD中，$\left\{\begin{array}{l}{AD=AB}&{\;}\\{∠PAB=∠PAD}&{\;}\\{AP=AP}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△ABP≌△ADP（SAS）；
（2）证明：∵PE∥CD，PF∥AD，
∴四边形EPFD是平行四边形，
由（1）得：△ABP≌△ADP，
∴BP=DP，
又∵BP=EF，
∴DP=EF，
∴四边形EPFD是矩形．

点评 本题考查了矩形的判定、菱形的性质、全等三角形的判定与性质；熟练掌握菱形的性质，证明三角形全等是解决问题的关键．