Question

如图，在Rt△OAB中，OA=8，OB=6，点C在OA上，AC=2，⊙P的圆心P在线段BC上，且与⊙P与边AB，AO都相切．若反比例函数y=

k

x

（k≠0）的图象经过圆心P，则k=

 

．

Answer 1

考点：圆的综合题,待定系数法求反比例函数解析式,等腰三角形的判定,勾股定理,切线的性质

专题：计算题

分析：设⊙P与边AB，AO分别相切于点F、E，连接PE、PF、AP，由条件可求出OC、AB，从而得到∠PCE=45°，进而有PE=CE，然后用面积法可求出PE的长，进而可以求出点P的坐标，把点P的坐标代入反比例函数的解析式就可求出k的值．

解答：解：设⊙P与边AB，AO分别相切于点F、E，连接PE、PF、AP，如图所示，
则有PF⊥AB，PE⊥OA，PE=PF．
∵∠AOB=90°，OA=8，OB=6，AC=2，
∴OC=6=OB，AB=10．
∴∠OBC=∠OCB=45°．
∴∠EPC=45°=∠ECP．
∴PE=CE．
∵S_△ABC=S_△ABP+S_△ACP，
∴

1

2

AC•OB=

1

2

AB•PF+

1

2

AC•PE．
∴

1

2

×2×6=

1

2

×10×PE+

1

2

×2×PE．
解得：PE=1．
∴CE=PE=1．
∴OE=OC-CE=6-1=5．
∴点P的坐标为（5，1）．
∵反比例函数y=

k

x

（k≠0）的图象经过点P（5，1），
∴k=5×1=5．
故答案为：5．

点评：本题考查了切线的性质、等腰三角形的判定、用待定系数法求反比例函数的解析式、勾股定理等知识，在求PE长度时巧妙地运用了面积法，而这种方法是求垂线段长度常用的一种方法，应掌握它．