Question

如图，有一块形状为△ABC的铁板余料，它的边BC=150mm，高AD=75mm，要把它加工成矩形零件PQMN，使矩形的一边QM在BC边上，其余两个顶点P、N分别在AB、AC边上，设矩形PQMN的一边PN=xmm，面积为S mm²．
（1）求S与x之间的函数关系式；
（2）矩形PQMN的两条边长分别为何值时，它的面积有最大值，最大值是多少？
（3）当S=2500mm²时，求矩形PQMN的两条边的长度．

Answer 1

考点：相似三角形的应用,二次函数的最值

专题：

分析：（1）根据矩形的对边平行可以得到△APN∽△ABC，然后用相似三角形对应高的比等于相似比，可以得出S与x的关系．
（2）根据矩形面积公式得到关于x的二次函数，根据二次函数求出矩形的最大值．
（3）代入s=2500得到有关x的一元二次方程即可求得两边的长度．

解答：解：（1）∵四边形PQMN是矩形，AD⊥BC，
∴PN∥BC，AD⊥PN于点E．
∴ED=PQ，AE=AD-ED=75-PQ．
∴△APN∽△ABC，
∴

PN

BC

=

AE

AD

，
即

x

150

=

75-PQ

75

，
∴PQ=75-

1

2

x．
∴S=PQ•PN=(75-

1

2

x)x，
即S=-

1

2

x2+75x．

（2）∵S=-

1

2

x2+75x=-

1

2

(x-75)2+2812.5，
∵-

1

2

＜0，
∴当 x=75时，S有最大值，S_最大值=2812.5，
此时PQ=75-

1

2

×75=37.5．
答：矩形PQMN的两条边长分别75mm和37.5mm时，它的面积有最大值，最大值是2812.5mm²．

（3）当S=2500 mm²时，有-

1

2

(x-75)2+2812.5=2500．
∴（x-75）²=625，即x-75=±25，
解得x₁=50，x₂=100． …（11分）
∴当 x=50时，PQ=50-

1

2

×50=25；
当 x=100时，PQ=100-

1

2

×100=50．
答：当S=2500 mm²时，矩形PQMN的两条边长分别50mm和25mm或100mm和50mm． …（12分）

点评：本题考查的是相似三角形的判定与相似，利用矩形的面积公式得到关于x的二次函数，根据二次函数的性质，确定x的取值和面积的最大值是解题关键．