题目内容
8．在菱形ABCD中，∠ABC=60°，E是对角线AC上任意一点，F是线段BC延长线上一点，且CF=AE，连接BE、EF．（1）如图1，当E是线段AC的中点时，求证：BE=EF．
（2）如图2，当点E不是线段AC的中点，其它条件不变时，请你判断（1）中的结论：成立．
（填“成立”或“不成立”）
（3）如图3，当点E是线段AC延长线上的任意一点，其它条件不变时，（1）中的结论是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由．
分析 （1）由菱形的性质和已知条件得出△ABC是等边三角形，得出∠BCA=60°，由等边三角形的性质和已知条件得出CE=CF，由等腰三角形的性质和三角形的外角性质得出∠CBE=∠F，即可得出结论；
（2）过点E作EG∥BC交AB延长线于点G，先证明△ABC是等边三角形，得出AB=AC，∠ACB=60°，再证明△AGE是等边三角形，得出AG=AE=GE，∠AGE=60°，然后证明
△BGE≌△ECF，即可得出结论；
（3）过点E作EG∥BC交AB延长线于点G，证明同（2）．
解答 （1）证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴AB=BC，
∵∠ABC=60°，
∴△ABC是等边三角形，
∴∠BCA=60°，
∵E是线段AC的中点，
∴∠CBE=∠ABE=30°，AE=CE，
∵CF=AE，
∴CE=CF，
∴∠F=∠CEF=$\frac{1}{2}$∠BCA=30°，
∴∠CBE=∠F=30°，
∴BE=EF；
（2）解：结论成立；理由如下：
过点E作EG∥BC交AB于点G，如图2所示：
∵四边形ABCD为菱形，
∴AB=BC，∠BCD=120°，AB∥CD，
∴∠ACD=60°，∠DCF=∠ABC=60°，
∴∠ECF=120°，
又∵∠ABC=60°，
∴△ABC是等边三角形，
∴AB=AC，∠ACB=60°，
又∵EG∥BC，
∴∠AGE=∠ABC=60°，
又∵∠BAC=60°，
∴△AGE是等边三角形，
∴AG=AE=GE，∠AGE=60°，
∴BG=CE，∠BGE=120°=∠ECF，
又∵CF=AE，
∴GE=CF，
在△BGE和△CEF中，$\left\{\begin{array}{l}{BG=CE}&{\;}\\{∠BGE=∠ECF}&{\;}\\{GE=CF}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△BGE≌△ECF（SAS），
∴BE=EF．
（3）解：结论成立．证明如下：
过点E作EG∥BC交AB延长线于点G，如图3所示：
∵四边形ABCD为菱形，
∴AB=BC，
又∵∠ABC=60°，
∴△ABC是等边三角形，
∴AB=AC，∠ACB=60°，
∴∠ECF=60°，
又∵EG∥BC，
∴∠AGE=∠ABC=60°，
又∵∠BAC=60°，
∴△AGE是等边三角形，
∴AG=AE=GE，∠AGE=60°，
∴BG=CE，∠AGE=∠ECF，
又∵CF=AE，
∴GE=CF，
在△BGE和△CEF中，$\left\{\begin{array}{l}{BG=CE}&{\;}\\{∠AGE=∠ECF}&{\;}\\{GE=CF}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△BGE≌△ECF（SAS），
∴BE=EF．
点评 本题考查了菱形的性质、全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质；熟练掌握菱形的性质，证明三角形全等和等边三角形是解决问题的关键．
小学夺冠AB卷系列答案
ABC考王全优卷系列答案| A． | ±2 | B． | 2 | C． | $\frac{1}{2}$ | D． | $-\frac{1}{2}$ |
如图，△ABC的外角∠ACD的平分线与内角∠ABC平分线交于点P，若∠BPC=25°，则∠BAC的度数是50°．
如图，在△ABC中，AB=AC=3，∠BAC=120°，以点A为圆心，1为半径作圆弧，分别交AB，AC于点D，E，以点C为圆心，3为半径作圆弧，分别交AC，BC于点A，F．若图中阴影部分的面积分别为S1，S2，则S1-S2的值为$\frac{9\sqrt{3}}{4}$-$\frac{47}{6}$π．