Question

4．如图，AB=20，AC=BD=2，动点E从C开始运动至D停止，分别以AE、BE为斜边，在AB同侧作等腰直角三角形△AEP、△BEQ，R是PQ的中点，则R运动的路线长是8．

Answer 1

分析 分别延长AP、BQ交于点F，易证四边形EPFQ为平行四边形，得出R为EF中点，则R的运行轨迹为三角形FCD的中位线MN．再求出CD的长，运用中位线的性质求出MN的长度即可．

解答 解：如图，分别延长AP、BQ交于点F．
∵△APE和△EBQ都是等腰三角形，且∠APE=∠BQE=90°
∵∠A=∠QEB=45°，
∴AF∥QE，
同理，BF∥PE，
∴四边形EPFQ为平行四边形，
∴EF与QP互相平分．
∵R为PQ的中点，
∴R为EF中点，即在P的运动过程中，R始终为EF的中点，所以R的运行轨迹为三角形FCD的中位线MN．
∵CD=AB-AC-BD=20-2-2=16，
∴MN=$\frac{1}{2}$CD=8，即R的移动路径长为8．
故答案为8．

点评 本题考查了等腰直角三角形的性质、三角形中位线的性质、平行四边形的判定和性质，以及动点问题，是中考的热点，解题的关键是正确寻找点R的运动轨迹，属于中考填空题中的压轴题．