Question

9．如图，⊙O₁和⊙O₂相交于点E，D，EC是⊙O₁的直径，CE的延长线交⊙O₂于点A，CD的延长线交⊙O₂于点B．已知CE=4，BD=$\sqrt{13}$，∠C=60°．求：
（1）CD的长；
（2）cos∠BAD的值．

Answer 1

分析 （1）根据直角三角形的性质：30°的角所对的直角边等于斜边的一半，可得CD与CE；
（2）根据勾股定理，可得DE、BE的长，根据同弦或等弦所对的圆周角相等，可得∠BAD=∠BED，根据余弦函数等邻边比斜边，可得答案．

解答 解：（1）连接CD，在Rt△CDE中，∠CDE=90°，∠C=60°，∠CED=30°，CE=4，
CD=$\frac{1}{2}$CE=2；
（2）如图：连接BE，
由勾股定理，得DE=$\sqrt{C{E}^{2}-C{D}^{2}}$=2$\sqrt{3}$；
BE=$\sqrt{B{D}^{2}+D{E}^{2}}$=$\sqrt{12+13}$=5，
由同弦所对的圆周角相等，得
∠BAD=∠BED．
cos∠BAD=cos∠BED=$\frac{DE}{BE}$=$\frac{2\sqrt{3}}{5}$．

点评 本题考查了相交两圆的性质，（1）利用了直角三角形的性质；（2）利用圆周角、弦、弧定理得出∠BAD=∠BED是解题关键．