Question

学校要围一个矩形花圃，花圃的一边利用足够长的墙，另三边用总长为32米的篱笆恰好围成如图所示的矩形ABCD，设AB边的长为x米，矩形ABCD的面积为S平方米．
（1）求S与x之间的函数关系式（不要求写自变量x的值范围）
（2）用自己的方法将（1）的关系式化成顶点式．
（3）当AB的长多少米时，矩形的面积最大，最大面积是多少？

Answer 1

分析：（1）在题目已设自变量的基础上，表示矩形的长，宽；用面积公式列出二次函数；
（2）将（1）中的二次函数进行配方即可化为顶点式．y=a（x-h）²+k；
（3）因为a=-2＜0抛物线开口向下，函数有最大值，即当x=-

b

2a

时，取得最大值．

解答：解：（1）所求的关系式是s=x（32-2x），
即s=-2x²+32x．

（2）s=-2x²+32x，
=-2（x²-16x）
=-2（x²-16x+82-64）
=-2[（x-8）²-64]
=-2（x-8）²+128．

（3）∵a=-2＜0抛物线开口向下，
∴函数有最大值，当x=-

b

2a

时，
即AB的长为8米时，矩形面积最大是128平方米．

点评：本题考查了二次函数的应用中求最值的问题．当a＞0时函数有最小值；当a＜0时函数有最大值．求最大（小）值有三种方法，第一种可由图象直接得出，第二种是配方法，第三种是公式法，常用的是后两种方法，当二次项系数a的绝对值是较小的整数时，用配方法较好，如y=-x²-2x+5，y=3x²-6x+1等用配方法求解比用公式法简便．