Question

10．如图，已知等边三角形OAB与反比例函数y=$\frac{k}{x}$（k＞0，x＞0）的图象交于A、B两点，将△OAB沿直线OB翻折，得到△OCB，点A的对应点为点C，线段CB交x轴于点D，则$\frac{BD}{DC}$的值为$\frac{\sqrt{3}-1}{2}$．（已知sin15°=$\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}$）

Answer 1

分析 作辅助线，构建直角三角形，根据反比例函数的对称性可知：直线OM：y=x，求出∠BOF=15°，根据15°的正弦列式可以表示BF的长，证明△BDF∽△CDN，可得结论．

解答 解：如图，过O作OM⊥AB于M，
∵△AOB是等边三角形，
∴AM=BM，∠AOM=∠BOM=30°，
∴A、B关于直线OM对称，
∵A、B两点在反比例函数y=$\frac{k}{x}$（k＞0，x＞0）的图象上，且反比例函数关于直线y=x对称，
∴直线OM的解析式为：y=x，
∴∠BOD=45°-30°=15°，
过B作BF⊥x轴于F，过C作CN⊥x轴于N，
sin∠BOD=sin15°=$\frac{BF}{OB}$=$\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}$，
∵∠BOC=60°，∠BOD=15°，
∴∠CON=45°，
∴△CNO是等腰直角三角形，
∴CN=ON，
设CN=x，则OC=$\sqrt{2}$x，
∴OB=$\sqrt{2}$x，
∴$\frac{BF}{\sqrt{2}x}$=$\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}$，
∴BF=$\frac{（\sqrt{3}-1）x}{2}$，
∵BF⊥x轴，CN⊥x轴，
∴BF∥CN，
∴△BDF∽△CDN，
∴$\frac{BD}{CD}=\frac{BF}{CN}$=$\frac{\frac{（\sqrt{3}-1）x}{2}}{x}$=$\frac{\sqrt{3}-1}{2}$，
故答案为：$\frac{\sqrt{3}-1}{2}$．

点评 本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题、等边三角形的性质、等腰直角三角形的性质和判定、三角函数、三角形相似的性质和判定、翻折的性质，明确反比例函数关于直线y=x对称是关键，在数学题中常设等腰直角三角形的直角边为未知数x，根据等腰直角三角形斜边是直角边的$\sqrt{2}$倍表示斜边的长，从而解决问题．