Question

5．如图，已知点E，F分别平行四边形ABCD是的边BC，AD上的点，点E是线段BC的中点，且AE=BE，CF=FD，tanB=$\frac{1}{2}$，若CD=4，求四边形AECF的周长．

Answer 1

分析 根据平行四边形性质得出AD∥BC，且AD=BC，推出AF∥EC，AF=EC，根据平行四边形的判定推出四边形AECF是平行四边形，由AE=CE得出四边形AECF是菱形，由三角函数求出AC，由勾股定理求出BC，得出AE的长，即可得出答案．

解答 解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AD∥BC，且AD=BC，AB=CD=4，
∵点E是线段BC的中点，
∴BE=CE，
∵AE=BE=CE，
∴△ABC是直角三角形，∠BAC=90°，
∵AB∥CD，
∴∠ACD=∠BAC=90°，
∵CF=FD，
∴CF=FD=AF，
∴AF=CE=AE=CF，
∴四边形AECF是菱形，
∵tanB=$\frac{AC}{AB}$=$\frac{1}{2}$，
∴AC=$\frac{1}{2}$AB=2，
∴BC=$\sqrt{A{B}^{2}+A{C}^{2}}$=$\sqrt{{4}^{2}+{2}^{2}}$=2$\sqrt{5}$，
∴AE=CE=CF=AF=$\frac{1}{2}$BC=$\sqrt{5}$，
∴四边形AECF的周长=4AE=4$\sqrt{5}$．

点评 本题考查了平行四边形的性质、解直角三角形、勾股定理、三角函数、菱形的判定等知识；证出四边形是菱形是解决问题的关键．