Question

如图，在正方形ABCD中，点E是对角线AC上一点，且CE=CD，过点E作EF⊥AC交AD于点F，连接BE．

（1）求证：DF=AE；

（2）当AB=2时，求BE²的值．

Answer 1

（1）证明：如图，连接CF，

在Rt△CDF和Rt△CEF中，

，

∴Rt△CDF≌Rt△CEF（HL），

∴DF=EF，

∵AC是正方形ABCD的对角线，

∴∠EAF=45°，

∴△AEF是等腰直角三角形，

∴AE=EF，

∴DF=AE；

 

（2）解：∵AB=2，

∴AC=AB=2，

∵CE=CD，

∴AE=2﹣2，

过点E作EH⊥AB于H，

则△AEH是等腰直角三角形，

∴AE=AH=AE=×（2﹣2）=2﹣，

∴BH=2﹣（2﹣）=，

在Rt△BEH中，BE²=BH²+EH²=（）²+（2﹣）²=8﹣4．