Question

如图，已知抛物线y=ax²-

3

2

x+c与x轴相交于A、B两点，并与直线y=

1

2

x-2交于B、C两点，其中点C是直线y=

1

2

x-2与y轴的交点，连接AC．
（1）求抛物线的解析式；
（2）证明：△ABC为直角三角形．

Answer 1

考点：二次函数综合题

专题：

分析：（1）由直线y=

1

2

x-2交x轴、y轴于B、C两点，则B、C坐标可求．进而代入抛物线y=ax²-

3

2

x+c，即得a、c的值，从求得抛物线解析式．
（2）求证三角形为直角三角形，我们通常考虑证明一角为90°或勾股定理．本题中未提及特殊角度，而已知A、B、C坐标，即可知AB、AC、BC，则显然可用勾股定理证明．

解答：（1）解：∵直线y=

1

2

x-2交x轴、y轴于B、C两点，
∴B（4，0），C（0，-2），
∵y=ax²-

3

2

x+c过B、C两点，
∴

0=16a-6+c c=-2

，
解得 

a= 1 2 c=-2

，
∴y=

1

2

x²-

3

2

x-2．

（2）证明：如图1，连接AC，

∵y=

1

2

x²-

3

2

x-2与x负半轴交于A点，
∴A（-1，0），
在Rt△AOC中，
∵AO=1，OC=2，
∴AC=

5

，
在Rt△BOC中，
∵BO=4，OC=2，
∴BC=2

5

，
∵AB=AO+BO=1+4=5，
∴AB²=AC²+BC²，
∴△ABC为直角三角形．

点评：本题考查了二次函数图象的基本性质，最值问题等知识点，难度适中，适合学生巩固知识．