题目内容
16．如图：已知抛物线y=-x2+bx+9-b2（b为常数）经过坐标原点O，且与x轴交于另一点A．其顶点M在第一象限．点B（1，n）在这条抛物线上．（1）求B点的坐标；
（2）点P在线段OA上，从O点出发向A点运动，过P点作x轴的垂线，与直线OB交于点E，延长PE到点D，使得ED=PE，以PD为斜边，在PD右侧作等腰直角三角形PCD（当P点运动时，C点、D点也随之运动）．当等腰直角三角形PCD的顶点C落在此抛物线上时，求OP的长；
（3）设点F是该抛物线上位于x轴上方，且在其对称轴左侧的一个动点；过点F作x轴的平行线交该抛物线于另一点G，再作FQ⊥x轴于点Q．GN⊥x轴于点N．求矩形FQNG的周长的最大值，并写出此时点F的坐标．
分析 （1）由抛物线y=-x2+bx+9-b2（b为常数）经过坐标原点O，可得出关于b的一元二次方程，解方程可得出b=±3，再由抛物线的顶点在第一象限，可确定b的值为3，由此可得出抛物线的解析式，将x=1代入抛物线解析式即可得出点B的坐标；
（2）根据点B的坐标可得出直线OB的解析式，设点P的坐标为（m，0），则点E的坐标为（m，2m），由等腰直角三角形的性质可得出点C的坐标为（3m，2m），将其代入抛物线解析式可求出m的值，由此可得出OP的长；
（3）设点F的坐标为（n，-n2+3n）（0＜n＜$\frac{3}{2}$），则G点坐标为（3-n，-n2+3n），Q点的坐标为（n，0），根据F、G、Q点的坐标即可用含n的代数式表示出矩形FQNG的长和宽，结合矩形的周长公式可得出周长C关于n的函数关系式，利用二次函数的性质即可解决最值问题．
解答 解：（1）∵抛物线y=-x2+bx+9-b2（b为常数）经过坐标原点O，
∴9-b2=0，解得：b=-3，或b=3．
∵抛物线的对称轴为x=-$\frac{b}{2×（-1）}$=$\frac{b}{2}$，顶点M在第一象限，
∴b=3，
∴抛物线的解析式为y=-x2+3x．
∵点B（1，n）在这条抛物线上，
∴n=-1+3=2，
∴点B的坐标为（1，2）．
（2）设直线OB的解析式为y=kx，
∵点B的坐标为（1，2），
∴有2=k，
即直线OB的解析式为y=2x．
设点P的坐标为（m，0），则点E的坐标为（m，2m）．
∵三角形PCD为等腰直角三角形，
∴PE=EC=2m，
∴点C的坐标为（3m，2m）．
∵点C在抛物线y=-x2+3x上，
∴有2m=-9m2+9m，
解得：m=0（舍去），或m=$\frac{7}{9}$．
即点P的坐标为（$\frac{7}{9}$，0），
故OP的长度为$\frac{7}{9}$．
（3）抛物线y=-x2+3x的对称轴为x=-$\frac{3}{2×（-1）}$=$\frac{3}{2}$．
设点F的坐标为（n，-n2+3n）（0＜n＜$\frac{3}{2}$），则G点坐标为（3-n，-n2+3n），Q点的坐标为（n，0）．
∴FQ=-n2+3n，FG=3-n-n，
矩形FQNG的周长C=2（FQ+FG）=2（-n2+3n+3-2n）=-2n2+2n+6=-2$（n-\frac{1}{2}）^{2}$+$\frac{13}{2}$．
∴当n=$\frac{1}{2}$时，矩形FQNG的周长取最大值$\frac{13}{2}$，此时点F的坐标为（$\frac{1}{2}$，$\frac{5}{4}$）．
点评 本题考查了二次函数的应用、待定系数法求函数解析式、等腰直角三角形的性质以及矩形的周长公式，解题的关键是：（1）求出b的值；（2）用含m的代数式表示出点C的坐标；（3）找出周长C关于n的函数关系式．本题属于中档题，难度不大，解决该题型题目时，设出点的坐标，由数量关系找出关于点的坐标中的未知数的方程，解方程来确定点的坐标是关键．
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