Question

3．如图，AB是半圆O的直径，E是弧BC的中点，OE交弦BC于点D，点F为OE的延长线上一点且OC²=OD•OF．
（1）求证：CF为⊙O的切线．
（2）已知DE=2，tan∠BAC=$\frac{4}{3}$．
①求⊙O的半径；
②求sin∠BAD的值．

Answer 1

分析 （1）根据△COD∽△COF，可得∠F=∠OCD，根据∠F+∠FCD=90°，即可得出∠OCD+∠FCD=90°，即OC⊥CF，进而得到CF为⊙O的切线．
（2）①设BC=4x，则AC=3x，AB=5x，OE=2.5x，根据OD是△ABC的中位线，即可得出OD=1.5x，进而得到OE=2.5x=5，据此可得⊙O的半径为5；
②作DG⊥OB于G，根据Rt△BOD中，DG=OD×BD÷OB，求得DG=2.4，再根据Rt△ACD中，AD=$2\sqrt{13}$，即可得出sin∠BAD的值．

解答 解：（1）∵OC²=OE²=OD•OF，∠COD=∠FOC，
∴△COD∽△COF，
∴∠F=∠OCD，
又E是弧BC的中点，
∴∠COE=∠BOE，
∵OC=OB，
∴OD⊥BC，
∴∠F+∠FCD=90°，
∴∠OCD+∠FCD=90°，即OC⊥CF，
∴CF为⊙O的切线．

（2）①∵Rt△ABC中，$tan∠BAC=\frac{4}{3}$，
∴可设BC=4x，则AC=3x，AB=5x，OE=2.5x，
∵OD是△ABC的中位线，
∴OD=1.5x，
∴DE=x=2，
∴OE=2.5x=5，
∴⊙O的半径为5；

②如图，作DG⊥OB于G，
∵Rt△BOD中，DG=OD×BD÷OB，
∴DG=3×4÷5=2.4，
∵Rt△ABC中，AC=6，AB=10，
∴BC=8，CD=4，
∴Rt△ACD中，AD=$2\sqrt{13}$，
∴Rt△AGD中，sin∠BAD=DG÷AD=$\frac{2.4}{{2\sqrt{13}}}=\frac{{6\sqrt{13}}}{65}$．

点评 本题主要考查了相似三角形的判定与性质，以及切线的判定以及解直角三角形的运用，在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用．解决问题的关键作辅助线构造直角三角形，解题时注意面积法的运用．