Question

如图，直线y=x与反比例函数y=（x＞0）的图象交于点A，AB⊥y轴，垂足为B，点C在射线BA上（端点除外），点E在x轴上，且∠OCE=90°，CH⊥x轴，垂足为H，并与反比例函数y=图象交于点G．
（1）若点B的坐标为（0，4），求k的值；
（2）在（1）的条件下，求证：HG=HE．

Answer 1

（1）解：∵点B的坐标为（0，4），AB⊥y轴，
∴点A的纵坐标为4，
∵点A在直线y=x上，
∴点A的坐标为（4，4），
把A（4，4）代入y=得k=4×4=16；
（2）证明：反比例函数的解析式为y=，
设H点坐标为（a，0），
∵CH⊥x轴，
∴C点坐标为（a，4），G点坐标为（a，），
∴GH=，
∵∠CHO=∠OCE=90°，
∴∠OHC-∠HOC=∠OCE-∠EOC，即∠OCH=∠CEH，
∴Rt△OCH∽Rt△CEH，
∴OH：CH=CH：EH，
∴EH=，
∵OH=a，CH=4，
∴EH=，
∴HG=HE．
分析：（1）利用点B的坐标为（0，4）易得点A的坐标为（4，4），然后把点A的坐标代入y=即可求出k的值；
（2）设H点坐标为（a，0），易得C点坐标为（a，4），G点坐标为（a，），则GH=，利用等角的余角相等得到∠OCH=∠CEH，根据相似三角形的判定得Rt△OCH∽Rt△CEH，则OH：CH=CH：EH，然后把OH=a，CH=4代入得到EH=，于是有HG=HE．
点评：本题考查了反比例函数综合题：反比例函数图象上的点的坐标满足其函数解析式；常用待定系数法求函数的解析式；正确运用三角形相似的判定与性质进行几何计算．