Question

12．如图，△ABC中，AB=AC=10，BC=4$\sqrt{5}$，以AB为直径的⊙O分别交度BC，AC于点D、E．
（1）求AE；
（2）过D作DF⊥AC于F，请画出图形，说明DF是否是⊙O的切线，并写出理由；
（3）延长FD，交AB的延长线于G，请画出图形．并求BG．

Answer 1

分析 （1）设AE=x，则CE=10-x，利用勾股定理即可列出方程求出x的值
（2）连接OD，可知OD是△ABC的中位线，从而可知OD∥AC，所以OD⊥DF
（3）由于BE∥GF，所以$\frac{AB}{BG}$=$\frac{AE}{EF}$，求出EF的长度后即可求出BG的长度．

解答 解：（1）设AE=x
∴CE=10-x，
∴由勾股定理可知：BE²=10²-x²，
BE²=（4$\sqrt{5}$）²-（10-x）²
∴10²-x²=（4$\sqrt{5}$）²-（10-x）²
∴解得：x=6，
∴AE=6，
（2）连接OD、AD
∵AO是⊙O的直径，
∴AD⊥BC，
∵AB=AC，
∴BD=CD，
∵OA=OB，
∴OD是△ABC的中位线
∴OD∥AC，
∴∠ODF+∠AFD=180°
∴∠ODF=90°，
∴DF是⊙O的切线，
（3）在Rt△ADC中，
cosC=$\frac{CD}{AC}$=$\frac{\sqrt{5}}{5}$
在Rt△CDF中，
cosC=$\frac{CF}{CD}$，
∴CF=2，
∵EC=AC-AE=4
∴EF=CE-CF=2，
∴AF=8，
∵BE∥GF
∴$\frac{AB}{BG}=\frac{AE}{EF}$
∴BG=$\frac{10}{3}$

点评 本题考查圆的综合问题，涉及勾股定理，解方程，中位线的性质，锐角三角函数，相似三角形的性质，综合程度较高，属于中等题型．