Question

已知DACB和DECD都是等腰直角三角形，AB、DE为斜边。

（1）若D在直线AC上，E在线段BC上（如图1）。求证：直线AE与BD垂直。

（2）若DECD绕点C任意旋转一个角度（如图2）。请判断AE与BD是否还垂直？若垂直，请给出证明；若不垂直，请说明理由。

　　 

Answer 1

答案：
解析：

（1）证明：∵ DACB和DECD都是等腰直角三角形，∴ AC=BC，CD=CE，ÐACB=ÐDCE=90°。∴ DACE≌DBCD。∴ ÐCAE=ÐCBD，延长AE交BD于F。∵ ÐCAE+ÐCEA=90°，ÐCEA=ÐBEF，∴ ÐBEF+ÐDBC=90°。∴ AE^BD。 （2）垂直 证明：∵ DACB和DECD都是等腰直角三角形。∴ AC=BC，DC=CE，ÐACB=ÐDCE=90°。 ∴ ÐACE=ÐDCB。∴ DACE≌DBCD。∴ ÐACE=ÐCBD。若AE与BC交于F。则ÐCAE+ÐAFC=90°。∵ ÐAFC=ÐBFE。∴ ÐBFE+ÐCBD=90°。∴ AE^BD。