题目内容
如图，在数轴上A点表示数a，B点示数b，a、b满足|a+4|+|b-6|=0（1）点A表示的数为
（2）若点A与点C之间的距离表示为AC，点B和点C之间的距离表示为BC，请求数轴上一点C，使AC=2BC；
（3）若在原点O处放一挡板，一小球甲从点A处以1个单位/秒的速度向左运动；同时另一小球乙从B处以2个单位/秒的速度向左运动，在碰到挡板后（忽略球的大小，可看做一个点），以原来的速度向相反的方向运动，设运动时间为t（秒）．
①分别表示甲乙两小球到原点的距离（用t表示）；
②求甲、乙两小球到原点的距离相等时经历的时间．
考点：一元一次方程的应用,数轴
专题：
分析：（1）根据非负数的性质求得a=-4，b=6；
（2）分C点在线段AB上和线段AB的延长线上两种情况讨论即可求解；
（3）①甲球到原点的距离=甲球运动的路程+OA的长，乙球到原点的距离分两种情况：（Ⅰ）当0＜t≤3时，乙球从点B处开始向左运动，一直到原点O，此时OB的长度-乙球运动的路程即为乙球到原点的距离；（Ⅱ）当t＞3时，乙球从原点O处开始向右运动，此时乙球运动的路程-OB的长度即为乙球到原点的距离；
②分两种情况：（Ⅰ）0＜t≤3，（Ⅱ）t＞3，根据甲、乙两小球到原点的距离相等列出关于t的方程，解方程即可．
（2）分C点在线段AB上和线段AB的延长线上两种情况讨论即可求解；
（3）①甲球到原点的距离=甲球运动的路程+OA的长，乙球到原点的距离分两种情况：（Ⅰ）当0＜t≤3时，乙球从点B处开始向左运动，一直到原点O，此时OB的长度-乙球运动的路程即为乙球到原点的距离；（Ⅱ）当t＞3时，乙球从原点O处开始向右运动，此时乙球运动的路程-OB的长度即为乙球到原点的距离；
②分两种情况：（Ⅰ）0＜t≤3，（Ⅱ）t＞3，根据甲、乙两小球到原点的距离相等列出关于t的方程，解方程即可．
解答：解：（1）∵|a+4|+|b-6|=0，
∴a+4=0，b-6=0，
解得：a=-4，b=6，
∴点A表示的数为-4，点B表示的数为6．
（2）设数轴上点C表示的数为c．
∵AC=2BC，
∴|c-a|=2|c-b|，即|c+4|=2|c-6|．
∵AC=2BC＞BC，
∴点C不可能在BA的延长线上，则C点可能在线段AB上和线段AB的延长线上．
①当C点在线段AB上时，则有-4≤c≤6，
得c+4=2（6-c），解得c=
；
②当C点在线段AB的延长线上时，则有c＞6，
得c+4=2（c-6），解得c=16．
故当AC=2BC时，c=
或c=16；
（3）①∵甲球运动的路程为：1•t=t，OA=4，
∴甲球与原点的距离为：t+4；
乙球到原点的距离分两种情况：
（Ⅰ）当0＜t≤3时，乙球从点B处开始向左运动，一直到原点O，
∵OB=6，乙球运动的路程为：2•t=2t，
乙到原点的距离：6-2t（0≤t≤3）
（Ⅱ）当t＞3时，乙球从原点O处开始一直向右运动，
此时乙球到原点的距离为：2t-6 （t＞3）；
②当0＜t≤3时，得t+4=6-2t，
解得t=
；
当t＞3时，得t+4=2t-6，
解得t=10．
故当t=
秒或t=10秒时，甲乙两小球到原点的距离相等．
∴a+4=0，b-6=0，
解得：a=-4，b=6，
∴点A表示的数为-4，点B表示的数为6．
（2）设数轴上点C表示的数为c．
∵AC=2BC，
∴|c-a|=2|c-b|，即|c+4|=2|c-6|．
∵AC=2BC＞BC，
∴点C不可能在BA的延长线上，则C点可能在线段AB上和线段AB的延长线上．
①当C点在线段AB上时，则有-4≤c≤6，
得c+4=2（6-c），解得c=
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②当C点在线段AB的延长线上时，则有c＞6，
得c+4=2（c-6），解得c=16．
故当AC=2BC时，c=
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（3）①∵甲球运动的路程为：1•t=t，OA=4，
∴甲球与原点的距离为：t+4；
乙球到原点的距离分两种情况：
（Ⅰ）当0＜t≤3时，乙球从点B处开始向左运动，一直到原点O，
∵OB=6，乙球运动的路程为：2•t=2t，
乙到原点的距离：6-2t（0≤t≤3）
（Ⅱ）当t＞3时，乙球从原点O处开始一直向右运动，
此时乙球到原点的距离为：2t-6 （t＞3）；
②当0＜t≤3时，得t+4=6-2t，
解得t=
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当t＞3时，得t+4=2t-6，
解得t=10．
故当t=
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点评：本题考查了非负数的性质，一元一次方程的运用，以及数轴，两点间的距离，渗透分类讨论思想、方程思想及数形结合思想是解题的关键．
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