在平面直角坐标系xOy中.对于任意两点P1(x1.y1)与P2(x2.y2)的“勾股距离我们记为d(P1.P2).给出如下定义:若|x1-x2|≥|y1-y2|.则d(P1.P2)=|x1-x2|,若|x1-x2|＜|y1-y2|.则d(P1.P2)=|y1-y2|．如图①.点P1(1.2).点P2(3.5).因为|1-3|＜|2-5|.所以点P1(x1.y1)与P2(x2.y2)� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

11．在平面直角坐标系xOy中，对于任意两点P₁（x₁，y₁）与P₂（x₂，y₂）的“勾股距离”我们记为d（P₁，P₂），给出如下定义：若|x₁-x₂|≥|y₁-y₂|，则d（P₁，P₂）=|x₁-x₂|；若|x₁-x₂|＜|y₁-y₂|，则d（P₁，P₂）=|y₁-y₂|．
如图①，点P₁（1，2），点P₂（3，5），因为|1-3|＜|2-5|，所以点P₁（x₁，y₁）与P₂（x₂，y₂）的“勾股距离”为d（P₁，P₂）=|2-5|=3，也就是图1中线段P₁Q与线段P₂Q长度的较大值（点Q为垂直于y轴的直线P₁Q与垂直于x轴的直线P₂Q的交点）．请你在学习理解上述定义的基础上，探究下面的问题：
（1）已知点M（0，-2），N（a，0）为x轴上的一个动点．
①当时d（M，N）=3时，则满足条件的点N的坐标是（3，0）或（-3，0）
②当d（M，N）最小时，则点N横坐标a的取值范围是-2≤a≤2
（2）如图②，在平面直角坐标系xOy中有一个矩形ABCD，点A坐标为（-3，-1），点B的坐标为（3，-1），矩形ABCD的对称中心为原点O，已知点E是直线y=x+6上的一个动点．
①求d（E，D）的最小值及相应的点E的坐标；
②动点F在矩形ABCD上由A→B→C→D→A运动一周，求d（E，F）最小值的取值范围．

分析（1）①根据“勾股距离”的定义结合d（M，N）=3，即可得出关于a的含绝对值符号的一元一次方程，解方程即可求出a值，从而得出点N坐标；②根据“勾股距离”的定义结合点M（0，-2），N（a，0）的坐标即可得出关于a含绝对值符号的不等式，解不等式即可得出a的取值范围；
（2）①根据矩形的性质找出点C、D的坐标，根据“勾股距离”的定义找出|x_E-x_D|=|m+3|，|y_E-y_D|=|m+5|，结合数轴即可找出当m=-4时，d（E，D）取最小值，由此即可得出结论；②观察图形可得出点D离直线最近，点B离直线最远，结合①的结论即可得出d（E，F）最小值中的最小值，利用①的方法可找出当m=-2时，d（E，B）为d（E，F）最小值中的最大值，由此即可得出结论．

解答解：（1）①∵M（0，-2），N（a，0），d（M，N）=3，
∴|0-a|=3，
∴a=±3，
∴点N的坐标为（3，0）或（-3，0）．
故答案为：（3，0）或（-3，0）．
②∵|-2-0|=2，
∴|0-a|≤2，
解得：-2≤a≤2．
故答案为：-2≤a≤2．
（2）①∵点A的坐标为（-3，-1），点B的坐标为（3，-1），矩形ABCD的对称中心为原点O，
∴点C的坐标为（3，1），点D的坐标为（-3，1）．
∵点E是直线y=x+6上的一个动点，
∴设点E的坐标为（m，m+6）．
∵|x_E-x_D|=|m+3|，|y_E-y_D|=|m+5|（如图1），
当m=-4时，d（E，D）取最小值，最小值为1，
此时点E的坐标为（-4，2）．
②观察函数图象可知，点D离直线y=x+6最近，点B离直线y=x+6最远．
结合①可知：d（E，F）≥1．
∵|x_E-x_B|=|m-3|，|y_E-y_B|=|m+7|（如图2），
∴当m=-2时，d（E，B）取最小值，最小值为5．
故动点F在矩形ABCD上由A→B→C→D→A运动一周，d（E，F）最小值的取值范围为1≤d（E，F）≤5．