Question

如图．在△ABC中，∠C=90°，AC=8，AB=10，点P在线段AC上运动，若圆O的半径是y，AP=x，且⊙0的圆心在线段BP上，圆O与AB，AC都相切．请求出y与x的函数关系式．

Answer 1

考点：切线的性质

专题：

分析：连接AO并延长交BC于点E，设AC于⊙O切于点F，连接OF，利用角平分线的性质定理可求得CE，在△PBC中利用平行可得到

OF

BC

=

PF

PC

，可表示出PF，在△AEC中可得

AF

AC

=

OF

EC

，也可以表示出PF，可找到y和x之间的关系．

解答：解：如图，连接AO并延长交BC于点E，设AC于⊙O切于点F，连接OF，

在△ABC中，∠C=90°，AB=10，AC=8，
∴BC=6，
∵AB、AC是⊙O的切线，
∴AE平分∠BAC，
∴

AB

AC

=

BE

CE

，即

BE

CE

=

10

8

=

5

4

，
∴

CE

BC

=

4

9

，解得CE=

8

3

，
又∵AC是⊙O的切线，
∴OF⊥AB，
∴OF∥BC，
∴

PF

PC

=

OF

BC

，

AF

AC

=

OF

CE

，
又∵AP=x，OF=y，
∴CP=8-x，
∴

PF

8-x

=

y

6

，

x+PF

8

=

y

8 3

，
消去PF整理可得y=

6x

10+x

，
即y与x的关系式为：y=

6x

10+x

．

点评：本题主要考查切线的性质及角平分线的性质、平行线分线段成比例的性质，利用角平分线的性质和平行线分线段成比例找到x、y、PF之间的关系式是解题的关键．