Question

已知在△ABC中，∠B=30°，∠A=15°，BC=2

3

-2，以A为圆心，以r为半径，作⊙A与线段BC没有公共点，求r的取值范围．

Answer 1

考点：直线与圆的位置关系

专题：计算题

分析：作AH⊥BC交BC的延长线于H，先证明△HAC为等腰直角三角形，设AH=x，则CH=x，AC=

2

x，在Rt△ABH中，根据含30度的直角三角形三边的关系得到BH=

3

AH，即x+2

3

-2=

3

x，解得x=2，所以AC=2

2

，AB=4，然后根据⊙A与线段BC没有公共点确定r的范围．

解答：解：作AH⊥BC交BC的延长线于H，如图，
∵∠B=30°，
∴∠BAH=60°，
而∠A=15°，
∴∠CAH=45°，
∴△HAC为等腰直角三角形，
∴AH=CH，AC=

2

AH，
设AH=x，则CH=x，AC=

2

x，
在Rt△ABH中，BH=

3

AH，
∴x+2

3

-2=

3

x，解得x=2，
∴AC=2

2

，AB=4，
∴当以A为圆心，以r为半径，作⊙A与线段BC没有公共点时，r的取值范围为2

2

＜r＜4．

点评：本题考查了直线与圆的位置关系：设⊙O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d：直线l和⊙O相交?d＜r；直线l和⊙O相切?d=r；直线l和⊙O相离?d＞r．也考查了解直角三角形．