Question

15．如图，在平面直角坐标系xOy中，A（0，2），B（0，6），点P在直线y=x上，⊙P的半径为3，设P（x，y）．
（1）求⊙P与直线x=2相切时点P的坐标；
（2）动点C在直线y=x上，若以A、B、C三点为顶点的三角形是等腰三角形，则点C的个数是3．

Answer 1

分析 （1）先根据直线和圆的位置关系和已知求出P的横坐标，即可得出答案；
（2）分为三种情况，根据勾股定理得出方程，求出方程的解即可．

解答 解：（1）∵⊙P的半径为3，⊙P与直线x=2相切，
∴点P到直线x=2的距离是3，
即P的横坐标为2+3=5或2-3=-1，
∵P在直线y=x上，
∴P点的坐标为（5，5）或（-1，-1）；

（2）分为三种情况：①BP=AP，此时P在AB的垂直平分线上，
∵A（0，2），B（0，6），
∴AB=4，P点的纵坐标为4，
∵P在直线y=x上，
∴此时P的坐标为（4，4）；
②AB=AP=4，
∵A（0，2），P（x，y），x=y，
∴（x-0）²+（x-2）²=4²，
∴x=1±$\sqrt{7}$，
此时P的坐标为（1+$\sqrt{7}$，1+$\sqrt{7}$）或（1-$\sqrt{7}$，1-$\sqrt{7}$）；
③AB=BP，
∵B（0，6），P（x，y），x=y，
∴∴（x-0）²+（x-6）²=4²，
此方程无解，
即不存在AB=BP；
所以符合的有3个，
故答案为：3．

点评 本题考查了直线和圆的位置关系，勾股定理，等腰三角形的判定，一次函数图象上点的坐标特征，切线的性质的应用，能求出符合的所有情况是解此题的关键．