Question

11．已知：A、B、C在同一直线上，等边△ABD和等边△BCE在AC同侧，AE，CD相交于P点，连PB，求证：PB平分∠APC．

Answer 1

分析 过B作BG⊥CD于G，BH⊥AE于H，首先证明△ABE≌△DBC，再证明△ABH≌△DBG，得到BH=BG，根据角平分线的性质得到BP平分∠APC；

解答 证明：过B作BG⊥CD于G，BH⊥AE于H，

∵△ABD、△BCE均为等边三角形，
∴AB=BD，BE=BC，∠ABD=∠CBE=60°，
∴∠ABE=∠CBD，
在△ABE与△CBD中，
$\left\{\begin{array}{l}{AB=BD}\\{∠ABE=∠DBC}\\{BE=BC}\end{array}\right.$，
∴△ABE≌△DBC，
∴∠BAE=∠BDC，
过B作BG⊥CD于G，BH⊥AE于H，
∴∠AHB=∠DGB=90°，
在△ABH与△DBG中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠BAH=∠BDG}\\{∠AHB=∠DGB}\\{AB=BD}\end{array}\right.$，
∴△ABH≌△DBG，
∴BH=BG，
∴BP平分∠APC；

点评 此题考查了等边三角形的判定与性质与全等三角形的判定与性质，此题图形比较复杂，解题的关键是仔细识图，找准全等的三角形，属于中考常考题型．