Question

二次函数：y=ax²-bx+b（a＞0，b＞0）图象顶点的纵坐标不大于-

b

2

．
（1）求该二次函数图象顶点的横坐标的取值范围；
（2）若该二次函数图象与x轴交于A，B两点，求线段AB长度的最小值．

Answer 1

分析：（1）先求出y=ax²-bx+b（a＞0，b＞0）的顶点的纵坐标，根据题意得出

b

2a

≥3，即可得出该二次函数图象顶点的横坐标的取值范围；
（2）设A（x₁，0），B（x₂，0）（x₁＜x₂），则x₁、x₂是方程ax²-bx+b=0的两根，由求根公式得出x₁、x₂，根据AB=|x₂-x₁|求出线段AB长度的最小值．

解答：解：（1）由于y=ax²-bx+b（a＞0，b＞0）图象的顶点的纵坐标为

4ab-b2

4a

，
则

4ab-b2

4a

≤-

b

2

，得

b

2a

≥3，
所以，该二次函数图象顶点的横坐标x=-

-b

2a

≥3，
即x≥3；

（2）设A（x₁，0），B（x₂，0）（x₁＜x₂），
则方程ax²-bx+b=0的两根，
得x₁=

b- b2-4ab

2a

，x₂=

b+ b2-4ab

2a

，
从而AB=|x₂-x₁|=

b2- 4ab

a

=

( b a )2-4( b a )

=

( b a -2)2-4

由（1）知

b

a

≥6．
由于当

b

a

≥6时，随着

b

a

的增大，

( b a -2)2-4

也随着增大，
所以

b

a

=6时，线段AB长度的最小值为

16-4

=2

3

．

点评：本题是一道综合性的题目，考查了抛物线与x轴的交点问题以及二次函数的性质，是中考压轴题，难度较大．