Question

如图，直角梯形ABCD中，AB∥CD，∠DAB=90°，且∠ABC=60°，AB=BC，△ACD的外接圆⊙O交BC于E点，连接DE并延长，交AC于P点，交AB延长线于F．
（1）求证：CF=DB；
（2）当AD=

3

时，试求E点到CF的距离．

Answer 1

考点：圆的综合题

专题：综合题

分析：（1）连结AE，由∠ABC=60°，AB=BC可判断△ABC为等边三角形，由AB∥CD，∠DAB=90°得∠ADC=∠DAB=90°，则根据圆周角定理可得到AC为⊙O的直径，则∠AEC=90°，即AE⊥BC，根据等边三角形的性质得BE=CE，再证明△DCE≌△FBE，得到DE=FE，于是可判断四边形BDCF为平行四边形，根据平行四边形的性质得CF=DB；
（2）作EH⊥CF于H，由△ABC为等边三角形得∠BAC=60°，则∠DAC=30°，在Rt△ADC中，根据含30度的直角三角形三边的关系得DC=

3

3

AD=1，AC=2CD=2，
则AB=AC=2，BF=CD=1，AF=3，然后利用勾股定理计算出BD=

7

，DF=2

3

，所以CF=BD=

7

，EF=

1

2

DF=

3

，接着根据等边三角形的性质由AE⊥BC得∠CAE=∠BAE=30°，根据圆周角定理得∠EDC=∠CAE=30°，而∠DCA=∠BAC=60°，得到∠DPC=90°，在Rt△DPC中，根据含30度的直角三角形三边的关系得PC=

1

2

DC=

1

2

，
再证明Rt△FHE∽Rt△FPC，利用相似比可计算出EH．

解答：（1）证明：连结AE，如图，
∵∠ABC=60°，AB=BC，
∴△ABC为等边三角形，
∵AB∥CD，∠DAB=90°，
∴∠ADC=∠DAB=90°，
∴AC为⊙O的直径，
∴∠AEC=90°，即AE⊥BC，
∴BE=CE，
CD∥BF，
∴∠DCE=∠FBE，
在△DCE和△FBE中，

∠DCE=∠FBE CE=BE ∠DEC=∠BEF

，
∴△DCE≌△FBE（ASA），
∴DE=FE，
∴四边形BDCF为平行四边形，
∴CF=DB；

（2）解：作EH⊥CF于H，如图，
∵△ABC为等边三角形，
∴∠BAC=60°，
∴∠DAC=30°，
在Rt△ADC中，AD=

3

，
∴DC=

3

3

AD=1，AC=2CD=2，
∴AB=AC=2，BF=CD=1，
∴AF=3，
在Rt△ABD中，BD=

AD2+AB2

=

7

，
在Rt△ADF中，DF=

AD2+AF2

=2

3

，
∴CF=BD=

7

，EF=

1

2

DF=

3

，
∵AE⊥BC，
∴∠CAE=∠BAE=30°，
∴∠EDC=∠CAE=30°，
而∠DCA=∠BAC=60°，
∴∠DPC=90°，
在Rt△DPC中，DC=1，∠CDP=30°，
∴PC=

1

2

DC=

1

2

，
∵∠HFE=∠PFC，
∴Rt△FHE∽Rt△FPC，
∴

EH

PC

=

FE

FC

，即

EH

1 2

=

3

7

，
∴EH=

21

14

，
即E点到CF的距离为

21

14

．

点评：本题考查了圆的综合题：熟练掌握圆周角定理、等边三角形的性质和平行四边形的判定与性质；会运用三角形全等的知识解决线段相等的问题；会运用勾股定理和相似比进行几何计算．