Question

14．如图，Rt△ABC，∠BAC=90°，D，E分别为AB，BC的中点，点F在CA的延长线上，∠FDA=∠B
（1）求证：AF=DE；
（2）若AC=6，BC=10，求四边形AEDF的周长．

Answer 1

分析 （1）由直角三角形斜边上的中线性质和三角形中位线定理得出AE=$\frac{1}{2}$BC=BE，DE∥AF，DE=$\frac{1}{2}$AC，由平行线的性质得出∠B=∠EAD，证出∠FDA=∠EAD，得出AE∥DF，即可得出四边形AEDF是平行四边形，进而可得AF=DE；
（2）由平行四边形的性质得出AE=DF，DE=AF，求出AE=$\frac{1}{2}$BC=5cm，DE=$\frac{1}{2}$AC=3cm，即可得出结果．

解答 解：
（1）∵∠BAC=90°，D，E分别是AB，BC的中点，
∴AE=$\frac{1}{2}$BC=BE，DE∥AF，DE=$\frac{1}{2}$AC，
∴∠B=∠EAD，
∵∠FDA=∠B，
∴∠FDA=∠EAD，
∴AE∥DF，
∴四边形AEDF是平行四边形，
∴AF=DE；
（2）∵四边形AEDF是平行四边形，
∴AE=DF，DE=AF，
∵AE=$\frac{1}{2}$BC=5cm，DE=$\frac{1}{2}$AC=3cm，
∴四边形AEDF的周长=2（AE+DE）=2（5+3）=16（cm）．

点评 本题是考查了三角形的中位线定理和三角形全等的性质，明确三角形的中位线定义，熟知三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半；三角形的中位线定理得出的结论为证明两三角形全等创造了条件．