Question

14．如图，△BCA中，AC=BC，点D为AB所在直线上的一个动点，过点D作直线DH，交射线CA于点M，且∠CDH=∠CBA=60°，过点B作BN∥AC交直线DM于点N．
（1）如图（1），当点D在线段AB上时，过点N作NG∥AB，交射线CA于点G，则∠1=∠2（填“＜”、“＞”或“=”），线段BN、AM和BD的数量关系为BN+AM=BD；
（2）如图（2），当点D在射线AB上时，其他条件不变，求证：BN+BD=AM；
（3）如图（3），当点D在射线BA上时，若△ADM为锐角，其他条件不变，请直接写出BN、AM和BD的数量关系；
（4）在（2）的条件下，若∠CDB=30°，S_△ABC=4$\sqrt{3}$，请直接写出AM和BD的长度．

Answer 1

分析 （1）由三角形的外角性质得出∠1+∠CDH=∠CBA+∠2，再由已知∠CDH=∠CBA，即可得出∠1=∠2；证明△ABC是等边三角形，得出AB=BC，∠BAC=∠ACB=60°，证明四边形ABNG是平行四边形，得出AG=BN，GN=AB=BC，由ASA证明△MNG≌△DCB，得出GM=BD，即可得出BN+AM=BD；
（2）同（1）得：AG=BN，△MNG≌△DCB（ASA），得出GM=BD，即可得出结论；
（3）同（1）得：AG=BN，△MNG≌△DCB（ASA），得出GM=BD，即可得出结论；
（4）由等边三角形的面积得出S_△ABC=4$\sqrt{3}$=$\frac{\sqrt{3}}{4}$AB²，解得：AB=BC=4，证出∠BCD=30°=∠CDB，得出BD=BC=4，同理：AM=AD=AB+BD=8．

解答 （1）解：∵∠1+∠CDH=∠CBA+∠2，∠CDH=∠CBA，
∴∠1=∠2；
线段BN、AM和BD的数量关系为：BN+AM=BD；理由如下：
∵AC=BC，∠CBA=60°，
∴△ABC是等边三角形，
∴AB=BC，∠BAC=∠ACB=60°，
∵GN∥AB，
∴∠MGN=∠BAC=60°=∠CBA，∠MNG=∠1=∠2，
∵GN∥AB，BN∥AC，
∴四边形ABNG是平行四边形，
∴AG=BN，GN=AB=BC，
在△MNG和△DCB中，$\left\{\begin{array}{l}{∠MGN=∠DBC}&{\;}\\{GN=BC}&{\;}\\{∠MNG=∠2}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△MNG≌△DCB（ASA），
∴GM=BD，
∵GM=AG+AM=BN+AM，
∴BN+AM=BD；
故答案为：=；BN+AM=BD；

（2）证明：BN+BD=AM；理由如下：
如图（2）所示：同（1）得：AG=BN，△MNG≌△DCB（ASA），
∴GM=BD，
∵AM=AG+GM=BN+BD，
∴BN+BD=AM；

（3）解：BD+AM=BN；理由如下：
如图（3）所示：同（1）得：AG=BN，△MNG≌△DCB（ASA），
∴GM=BD，
∵AG=GM+AM=BD+AM，
∴BD+AM=BN；

（4）解：∵△ABC是等边三角形，S_△ABC=4$\sqrt{3}$=$\frac{\sqrt{3}}{4}$AB²，
解得：AB=BC=4，
∵∠CDH=∠CBA=60°，∠CDB=30°，∠CBA=∠CDB+BCD，
∴∠BCD=30°=∠CDB，
∴BD=BC=4，
同理：AM=AD=AB+BD=8．

点评 本题是三角形综合题目，考查了三角形的外角性质、等边三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质以及三角形面积的计算等知识；本题综合性强，有一定难度，证明三角形全等是解决问题的关键．