Question

如图①，②，在平面直角坐标系中，点的坐标为(4，0)，以点为圆心，4为半径的圆与轴交于，两点，为弦，，是轴上的一动点，连结．

（1）求的度数；

（2）如图①，当与相切时，求的长；

（3）如图②，当点在直径上时，的延长线与相交于点，问为何值时，是等腰三角形？

Answer 1

解：（1）∵，，∴是等边三角形．∴．    

（2）∵CP与相切，

∴．       

∴．

又∵（4，0），∴．∴．

∴．  

（3）①过点作，垂足为，延长交于，

∵是半径， ∴，∴，

∴是等腰三角形．

又∵是等边三角形，∴=2 ．

②解法一：过作，垂足为，延长交于，与轴交于，

∵是圆心， ∴是的垂直平分线． ∴．

∴是等腰三角形，

过点作轴于，

在中，∵，

∴．∴点的坐标（4+，）．

在中，∵

，

∴．

∴点坐标（2，）．　

设直线的关系式为：，则有

     

解得：

∴．

当时，． ∴．　

解法二： 过A作，垂足为，延长交于，与轴交于，

∵是圆心， ∴是的垂直平分线． ∴．∴是等腰三角形．

∵，∴．

∵平分，∴．

∵是等边三角形，， ∴．

∴．∴是等腰直角三角形．

∴．∴．