Question

20．探究：如图1，在△ABC中，AB=AC，∠ABC=60°，延长BA至点D，延长CB至点E，使BE=AD，连结CD、AE．求证；△ACE≌△CBD．
应用：如图2，在菱形ABCF中，∠ABC=60°，延长BA至点D，延长CB至点E，使BE=AD，连结CD、EA，延长EA交CD于点G，求∠CGE的度数．

Answer 1

分析 探究：根据题意可得出△ABC是等边三角形，故BC=AC，∠ACB=∠ABC．再由BE=AD得出CE=BD，根据SAS定理得出△ACE≌△CBD；
应用：由探究可知△ABC是等边三角形，△ACE≌△CBD故可得出∠E=∠D．再由∠BAE=∠DAG可知∠E+∠BAE=∠D+∠DAG所以∠CGE=∠ABC，进而可得出结论．

解答 探究：证明：∵AB=AC，∠ABC=60°，
∴△ABC是等边三角形，
∴BC=AC，∠ACB=∠ABC．
∵BE=AD，
∴BE+BC=AD+AB，即CE=BD．
在△ACE和△CBD中，
∵$\left\{\begin{array}{l}CE=BD\\∠ACB=∠ABC\\ BC=AC\end{array}\right.$，
∴△ACE≌△CBD（SAS）；
应用：如图，连接AC，
∵由探究可知△ABC是等边三角形，△ACE≌△CBD，
∴∠E=∠D．
∵∠BAE=∠DAG，
∴∠E+∠BAE=∠D+∠DAG，
∴∠CGE=∠ABC．
∵∠ABC=60°，
∴∠CGE=60°．

点评 本题考查的是四边形综合题，涉及到全等三角形的判定与性质、等边三角形的性质等知识，根据题意作出辅助线，构造出等边三角形是解答此题的关键．