Question

三项式x²-x-2n能分解为两个整系数一次因式的乘积
（1）若1≤n≤30，且n是整数，则这样的n有多少个？
（2）当n≤2005时，求最大整数n

Answer 1

分析：（1）利用公式法求出x²-x-2n=0的根，将n从1至30代入开平方验证，舍去不合题意得，得到最终n的取值及个数．
（2）观察数列1，3，6，10，15，21，28，寻找规律，将基本规律的代数式代入求值．

解答：解：
（1）x²-x-2n=(x-

1+ 1+8n

2

)(x-

1- 1+8n

2

)（3分）
则应有1+8n=9，25，49，81，121，169，225，289（7分）
相应解得n=1，3，6，10，15，21，28，36（舍去）
故当1≤n≤30时，满足条件的整数n有7个（10分）
（2）观察数列1，3，6，10，发现
1=1，3=1+2，6=1+2+3，10=1+2+3+4
故n=1+2+3+…+k≤2005
∴

(1+k)k

2

≤2005
验证得当k=62时，n取最大值为1953（20分）

点评：本题考查因式分解的应用．解决（1）主要是通过公式法分解出因式，再将符合条件的n代入逐个验证；（2）关键是观察数列找到规律．