Question

17．如图，AB∥CD，EM是∠AMF的平分线，NF是∠CNE的平分线，EN、MF交于O点
（1）若∠AMF=50°，∠CNE=40°，求∠E，∠F的度数；
（2）若图中∠E+60°=2∠F，求∠AMF的度数；
（3）探究∠E，∠F与∠MON之间的数量关系．

Answer 1

分析 （1）作EH∥AB，如图，利用平行线的性质得EH∥CD，则∠1=∠AME，∠2=∠CNE，于是得到∠E=∠AME+∠CNE，而∠AME=$\frac{1}{2}$∠AMF，所以∠E=$\frac{1}{2}$∠AMF+∠CNE；同理可得∠F=∠AMF+$\frac{1}{2}$∠CNE，再∠AMF=50°，∠CNE=40°代入计算即可；
（2）由（1）的结论得到∠E=$\frac{1}{2}$∠AMF+∠CNE，∠F=∠AMF+$\frac{1}{2}$∠CNE，变形得到2∠F=2∠AMF+∠CNE，利用等式的性质得2∠F-∠E=$\frac{3}{2}$∠AMF，加上∠E+60°=2∠F，即2∠F-∠E=60°，于是得到$\frac{3}{2}$∠AMF=60°，易得∠AMF的度数；
（3）与（1）的证明方法一样可得∠MON=∠AMF+∠CNE，再变形∠E=$\frac{1}{2}$∠AMF+∠CNE，∠F=∠AMF+$\frac{1}{2}$∠CNE得到2∠E=∠AMF+2∠CNE，2∠F=2∠AMF+∠CNE，把两式相加得2∠E+2∠F=3（∠AMF+∠CNE），则∠AMF+∠CNE=$\frac{2}{3}$（∠E+∠F），所以∠MON=$\frac{2}{3}$（∠E+∠F）．

解答 解：（1）作EH∥AB，如图，
∵AB∥CD，
∴EH∥CD，
∴∠1=∠AME，∠2=∠CNE，
∴∠E=∠AME+∠CNE，
∵EM是∠AMF的平分线，
∴∠AME=$\frac{1}{2}$∠AMF，
∴∠E=$\frac{1}{2}$∠AMF+∠CNE=$\frac{1}{2}$×50°+40°=65°；
同理可得∠F=∠AMF+$\frac{1}{2}$∠CNE=50°+$\frac{1}{2}$×40°=70°；
（2）∵∠E=$\frac{1}{2}$∠AMF+∠CNE，∠F=∠AMF+$\frac{1}{2}$∠CNE，
∴2∠F=2∠AMF+∠CNE，
∴2∠F-∠E=$\frac{3}{2}$∠AMF，
∵∠E+60°=2∠F，即2∠F-∠E=60°，
∴$\frac{3}{2}$∠AMF=60°，
∴∠AMF=40°；
（3）与（1）的证明方法一样可得∠MON=∠AMF+∠CNE，
而∠E=$\frac{1}{2}$∠AMF+∠CNE，∠F=∠AMF+$\frac{1}{2}$∠CNE，
∴2∠E=∠AMF+2∠CNE，2∠F=2∠AMF+∠CNE，
∴2∠E+2∠F=3（∠AMF+∠CNE），
∴∠AMF+∠CNE=$\frac{2}{3}$（∠E+∠F），
∴∠MON=$\frac{2}{3}$（∠E+∠F）．

点评 本题考查了平行线的性质：两直线平行，同位角相等；两直线平行，内错角相等；两直线平行，同旁内角互补．合理作辅助线和把一般结论推广是解决问题的关键．