Question

4．如图，△ABC中，D是BC上一点，∠DAC=∠B，E为AB上一点．
（1）求证：△CAD∽△CBA；
（2）若BD=10，DC=8，求AC的长；
（3）在（2）的条件下，若DE∥AC，AE=4，求BE的长．

Answer 1

分析 （1）有两组角对应相等的两个三角形相似，据此判断△CAD∽△CBA即可；
（2）根据相似三角形的对应边成比例，得出AC²=CD×CB，再根据BD=10，DC=8，求得AC的长即可；
（3）根据平行线分线段成比例定理，由DE∥AC，得出$\frac{BE}{EA}$=$\frac{BD}{DC}$，再根据BD=10，DC=8，AE=4，求得BE=5即可．

解答 解：（1）∵在△CAD和△CBA中，
∠DAC=∠B，∠ACD=∠BCA，
∴△CAD∽△CBA；

（2）∵△CAD∽△CBA，
∴$\frac{CD}{AC}$=$\frac{CA}{BC}$，即AC²=CD×CB，
又∵BD=10，DC=8，
∴AC²=8×18=144，
∴AC=±12，
又∵AC＞0，
∴AC=12；   

（3）∵DE∥AC，
∴$\frac{BE}{EA}$=$\frac{BD}{DC}$，
又∵BD=10，DC=8，AE=4，
∴$\frac{BE}{4}$=$\frac{10}{8}$，
∴BE=5．

点评 本题主要考查了相似三角形的判定与性质，平行线分线段成比例定理的综合应用，解决问题的关键是掌握相似三角形的判定方法．在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用，寻找相似三角形的一般方法是通过作平行线构造相似三角形．解题时注意：平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例．