题目内容
12．（1）分解下列因式，将结果直接写在横线上：x2-2x+1=（x-1）2，25x2+30x+9=（5x+3）2，9x2+12x+4=（3x+2）2．
（2）观察上述三个多项式的系数，
有（-2）2=4×1×1，302=4×25×9，122=4×9×4，于是小明猜测：若多项式ax2+bx+c（a＞0）是完全平方式，那么实系数a、b、c之间一定存在某种关系．
①请你用数学式子表示系数a、b、c之间的关系b2=4ac．
②解决问题：在实数范围内，若关于x的多项式mx2+8x+n是完全平方式，且m，n都是正整数，m≥n，求系数m与n的值．
（3）在实数范围内，若关于x的多项式x2+mx+2n和x2+nx+2m都是完全平方式，利用（2）中的规律求mn的值．
分析 （1）根据完全平方公式分解即可；
（2）①根据已知等式得出b2=4ac，即可得出答案；
②求出64=4mn，求出方程的特殊解即可；
（3）根据规律得出m2=8n且n2=8m，组成一个方程，求出mn即可．
解答 解：（1）x2-2x+1=（x-1）2，25x2+30x+9=（5x+3）2，9x2+12x+4=（3x+2）2，
故答案为：（x-1）2，（5x+3）2，（3x+2）2；
（2）①b2=4ac，
故答案为：b2=4ac；
②∵关于x的多项式mx2+8x+n是完全平方式，且m，n都是正整数，m≥n，
∴82=4mn，
∴只有三种情况：m=16，n=1或m=4，n=4或m=8，n=2；
（3）∵关于x的多项式x2+mx+2n和x2+nx+2m都是完全平方式，
∴m2=4×2n=8n且n2=4×2m=8m，
∴m2n2=64mn，
∴m2n2-64mn=0，
∴mn（mn-64）=0，
∴mn=0（舍去）或mn=64．
点评 本题考查了对完全平方公式的理解和应用，能根据完全平方公式得出b2=4ac是解此题的关键．
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