Question

15．如图①，C为线段BD上一动点，分别过点B，D作AB⊥BD，ED⊥BD，连接AC，EC．已知AB=5，DE=1，BD=8．

（1）如图①，问点A，C，E满足什么条件时，AC+CE的值最小？求出AC+CE的最小值．
（2）如图②，在平面直角坐标系中，已知点M（0，4），N（3，2），请根据（1）中的规律和结论构图在x轴上找一点P，使PM+PN最小，求出点P坐标和PM+PN的最小值．

Answer 1

分析 （1）当点C到A、E两点的距离相等即AC=EC，由勾股定理建立方程，解方程即可；
（2）根据在直线OX上的同侧有两个点M、N，在直线OX上有到M、M的距离之和最短的点存在，可以通过轴对称来确定，即作出其中一点关于直线OX的对称点，对称点与另一点的连线与OX的交点就是所要找的P．再利用勾股定理计算即可．

解答 解：（1）∵BC=x，BD=8，
∴CD=8-x，
∵AC=EC，
∴x²+5²=（8-x）²+1²，
解得：x=$\frac{5}{2}$，
∴当BC=$\frac{5}{2}$时，点C到A、E两点的距离相等；
（2）如图所示：P（2，0），
∵PM=$\sqrt{O{P}^{2}+O{M}^{2}}$=$\sqrt{20}$=2$\sqrt{5}$，
PN=$\sqrt{{1}^{2}+{2}^{2}}$=$\sqrt{5}$，
∴PM+PN最小值为 3$\sqrt{5}$．

点评 本题利用了数形结合的思想，可通过构造直角三角形，利用勾股定理求解和利用轴对称求最短路线问题．