题目内容
14．已知：在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，点D为直线BC上一动点（点D不与B、C重合）．以AD为边作正方形ADEF，连接CF．
（1）如图1，当点D在线段BC上时，求证：BD⊥CF．BD=CF．
（2）如图2，当点D在线段BC的延长线上时，其它条件不变，第（1）问结论还成立吗？并说明理由．
（3）如图3，当点D在线段BC的反向延长线上时，且点A、F分别在直线BC的两侧，其它条件不变：
①请直接写出CF、BC、CD三条线段之间的关系．
②若连接正方形对角线AE、DF，交点为O，连接OC，探究△AOC的形状，并说明理由．
分析 （1）设法证明△BAD≌△CAF与∠FCD=90°即可；
（2）与（1）同法；
（3）中的①与（1）相同，可证明BD=CF，又点D、B、C共线，故：CD=BC+CF；
②由（1）猜想并证明BD⊥CF，从而可知△FCD为直角三角形，再由正方形的对角线的性质判定△AOC三边的特点，再进一步判定其形状．
解答 （1）证明：∵∠BAC=90°，AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB=45°，
∵四边形ADEF是正方形，
∴AD=AF，∠DAF=90°，
∵∠BAC=∠BAD+∠DAC=90°，∠DAF=∠CAF+∠DAC=90°，
∴∠BAD=∠CAF，
在△BAD和△CAF中，
$\left\{\begin{array}{l}{AB=AC}\\{∠BAD=∠CAF}\\{AD=AF}\end{array}\right.$，
∴△BAD≌△CAF（SAS），
∴BD=CF，∠ACF=∠ABD=45°，
∴∠ACF+∠ACB=90°，
∴BD⊥CF；
（2）（1）的结论仍然成立，理由：
∵∠BAD=∠BAC+∠CAD=90°+∠CAD，
∠CAF=∠DAF+∠CAD=90°+∠CAD，
∴∠BAD=∠CAF，
在△BAD和△CAF中，
$\left\{\begin{array}{l}{AB=AC}\\{∠BAD=∠CAF}\\{AD=AF}\end{array}\right.$
∴△BAD≌△CAF（SAS），
∴BD=CF，∠ACF=∠ABD=45°
∴∠BCF=∠ACB+∠ACF=45°+45°=90°
∴BD⊥CF．
（3）①BC、CD与CF的关系：CD=BC+CF
理由：与（1）同法可证△BAD≌△CAF，从而可得：
BD=CF，
即：CD=BC+CF
②△AOC是等腰三角形
理由：与（1）同法可证△BAD≌△CAF，可得：∠DBA=∠FCA，
又∵∠BAC=90°，AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB=45°，
则∠ABD=180°-45°=135°，
∴∠ABD=∠FCA=135°
∴∠DCF=135°-45°=90°
∴△FCD为直角三角形．
又∵四边形ADEF是正方形，对角线AE与DF相交于点O，
∴OC=$\frac{1}{2}$DF，
∴OC=OA
∴△AOC是等腰三角形．
点评 本题考查了等腰三角形、正方形的性质及全等三角形的判定与性质等知识点，一般情况下，要证明两条线段相等，就得证明这两条线段所在的两个三角形全等，关键是掌握图形特点挖掘题目所隐含的条件．
名师点睛字词句段篇系列答案| A． | 0 | B． | 4x-4 | C． | 4-4x | D． | 4+4x |
如图，在矩形ABCD中，AD=$\sqrt{2}$AB，∠BAD的平分线交BC于点E，DH⊥AE于点H，连接BH并延长交CD于点F，连接DE交BF于点O，下列结论：