Question

如图，AD⊥BC，垂足为D．CD=1，AD=2，BD=4．
（1）求∠BAC的度数？并说明理由；
（2）P是边BC上一点，连结AP，当△ACP为等腰三角形时，求CP的长．

Answer 1

考点：勾股定理,等腰三角形的性质,勾股定理的逆定理

专题：

分析：首先由勾股定理求出AC和AB，再由勾股定理逆定理证出△ABC为直角三角形得出∠BAC=90°；当△ACP为等腰三角形时，CP有三个解．

解答：解：（1）∠BAC=90°；理由：
∵AD⊥BC，
∴∠ADC=∠ADB=90°；
由勾股定理可得 AC²=AD²+CD²=1²+2²=5，AB²=AD²+BD²=2²+4²=20；
∴AC²+AB²=25；
∵BC²=（BD+CD）²=5²=25；
∴AC²+AB²=BC²；
∴△ABC是直角三角形；
∴∠BAC=90°；
（2）当△ACP为等腰三角形时，有三种情况：
①当AC=AP时，CP=2CD=2；
②当AC=CP时，∵AC=

12+22

=

5

，∴CP=

5

；
③当CP=AP时，CP=

1

2

BC=2.5；
因此，当△ACP为等腰三角形时，CP的长为2或

5

或2.5．

点评：本题考查的知识点是勾股定理和逆定理以及等腰三角形的定义；由勾股定理求出AC和AB，再根据勾股定理的逆定理证出△ABC是直角三角形得出∠BAC=90°；最后由等腰三角形的定义得出CP的长，注意有3个解．