Question

11．如图，已知△ABC中，△ABC的平分线AD与BC边相交于点D，过点D分别作AB、AC的平行线交AC、AB于E、F．联结EF与CB的延长线相交于点G．
（1）求证：四边形AEDF是菱形；
（2）求证：$\frac{GF}{GE}$=$\frac{AB}{AC}$．

Answer 1

分析 （1）首先根据题意可得四边形AEDF是平行四边形，然后再证明AE=ED，根据邻边相等的平行四边形是菱形可得结论；
（2）根据角平分线定理得到$\frac{AB}{AC}=\frac{BD}{CD}$，根据相似三角形的性质得到$\frac{GF}{GE}=\frac{DF}{CE}$，由平行线分线段成比例定理得到$\frac{BD}{CD}=\frac{AE}{CE}$，如果等量代换即可得到结论．

解答 证明：（1）∵过D点分别作AC和AB的平行线，交AB于点E，交AC于点F，
∴DE∥AF，DF∥AE，
∴四边形AEDF是平行四边形，
又∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD=∠CAD，
∵DE∥AC，
∴∠EDA=∠DAC，
∴∠BAD=∠EDA，
∴AE=ED
∴四边形AEDF为菱形；

（2）∵△ABC的平分线AD与BC边相交于点D，
∴$\frac{AB}{AC}=\frac{BD}{CD}$，
∵DF∥AC，
∴△GFD∽△GEC，
∴$\frac{GF}{GE}=\frac{DF}{CE}$，
∵DE∥AB，
∴$\frac{BD}{CD}=\frac{AE}{CE}$，
∵DF=AE，
∴$\frac{GF}{GE}$=$\frac{AB}{AC}$．

点评 本题考查了菱形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，角平分线定理，熟练掌握角平分线定理是解题的关键．