Question

在Rt△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，P、Q在AB上，且∠PCQ=45°，试猜想分别以线段AP、PQ、BQ为边能组成一个三角形吗？若能试判断这个三角形的形状．

Answer 1

考点：勾股定理的逆定理,等腰直角三角形

专题：几何图形问题,探究型

分析：作△CAP关于CP所在直线的轴对称三角形CMD，连接QM．可证明∠MCQ=∠BCQ，即可证明△MCQ≌△BCQ，则MQ=BQ，∠CMQ=∠B=45°，∠PMQ=∠CMP+∠CMQ=90°，即可得出结论．

解答：答：以线段AP、PQ、BQ为边组成的三角形是直角三角形．
证明：如图，作△CAP关于CP所在直线的轴对称三角形CMP，连接MQ．
则CM=CA，PM=PA，∠ACP=∠MCP，∠CMP=∠A=45°，
∵AC=BC，
∴CM=CB，
∵∠ACB=90°，∠PCQ=45°，
∴∠MCP+∠MCQ=45°，∠ACP+∠BCQ=45°．
∴∠MCQ=∠BCQ，
在△MCQ和△BCQ中，

CM=CB ∠MCQ=∠BCQ CQ=CQ

，
∴△MCQ≌△BCQ（SAS），
∴MQ=BQ，∠CMQ=∠B=45°，
∴∠PMQ=∠CMP+∠CMQ=90°．
∴△PMQ是直角三角形，即以以线段AP、PQ、BQ为边组成的三角形是直角三角形．

点评：本题考查了等腰直角三角形和全等三角形的判定和性质，关键是将线段AP、BP、BQ转换到同一个三角形中．