Question

10．（1）填空：
（a-b）（a+b）=a²-b²；
（a-b）（a²+ab+b²）=a³-b³；
（a-b）（a³+a²b+ab²+b³）=a⁴-b⁴；
（2）猜想：
（a-b）（a^n-1+a^n-2b+a^n-3b²+…+ab^n-2+b^n-1）=aⁿ-bⁿ（其中n为正整数，且n≥2）；
（3）利用（2）猜想的结论计算：①2⁹+2⁸+2⁷+…+2²+2+1
                                                  ②2¹⁰-2⁹+2⁸-…-2³+2²-2．

Answer 1

分析 （1）根据平方差公式与多项式乘以多项式的运算法则运算即可；
（2）根据（1）的规律可得结果；
（3）原式变形后，利用（2）得出的规律计算即可得到结果．

解答 解：（1）（a-b）（a+b）=a²-b²；
（a-b）（a²+ab+b²）=a³+a²b+ab²-a²b-ab²-b³=a³-b³；
（a-b）（a³+a²b+ab²+b³）=a⁴+a³b+a²b²+ab³-a³b-a²b²-ab³-b⁴=a⁴-b⁴；
故答案为：a²-b²，a³-b³，a⁴-b⁴；

（2）由（1）的规律可得：原式=aⁿ-bⁿ，
故答案为：aⁿ-bⁿ；

（3）①2^9₊2⁸+2^7₊…+2³+2²+2+1=（2-1）•（2^9₊2⁸•1+2⁷•1^2₊…+2³•1⁶+2²•1⁷+2•1⁸）+1
=2¹⁰-1¹⁰+1
=2¹⁰-1+1
=1024；
②2¹⁰-2⁹+2⁸-…+2³-2²+2
=$\frac{1}{3}$×[2-（-1）]•[2¹⁰×（-1）^0₊2⁹×（-1）¹+2⁷×（-1）^2₊…+2³×（-1）⁷+2²×（-1）⁸+2×（-1）⁹+2⁰×（-1）¹⁰-1]
=$\frac{1}{3}$[2¹¹-（-1）¹¹-3]
=$\frac{1}{3}$×2046
=682．

点评 此题考查了数字的变化规律和多项式乘以多项式，弄清题中的规律是解本题的关键．