Question

13．已知：如图，四边形ABCD四条边上的中点分别为E、F、G、H，顺次连接EF、FG、GH、HE，得到四边形EFGH（即四边形ABCD的中点四边形）．
（1）四边形EFGH的形状是平行四边形，并证明你的结论．
（2）连接四边形ABCD的对角线AC与BD，当AC与BD满足AC⊥BD条件时，四边形EFGH是矩形；并证明你的结论．
（3）连接四边形ABCD的对角线AC与BD，当AC与BD满足条件AC⊥BD且AC=BD时，四边形EFGH是正方形．（不用证明）

Answer 1

分析 （1）连接BD，根据三角形的中位线定理得到EH∥BD，EH=$\frac{1}{2}$BD，FG∥BD，FG═$\frac{1}{2}$BD，推出，EH∥FG，EH=FG，根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形得出四边形EFGH是平行四边形；
（2）根据有一个角是直角的平行四边形是矩形，可知当四边形ABCD的对角线满足AC⊥BD的条件时，四边形EFGH是矩形；
（3）根据邻边相等的矩形为正方形进行解答．

解答 解：（1）四边形EFGH的形状是平行四边形．理由如下：
如图，连结BD．
∵E、H分别是AB、AD中点，
∴EH∥BD，EH=$\frac{1}{2}$BD，
同理FG∥BD，FG=$\frac{1}{2}$BD，
∴EH∥FG，EH=FG，
∴四边形EFGH是平行四边形．
故答案是：平行四边形；

（2）当AC⊥BD时，四边形EFGH是矩形．理由如下：
如图，连结AC．
∵E、F、G、H分别为四边形ABCD四条边上的中点，
∴EH∥BD，HG∥AC，
∵AC⊥BD，
∴EH⊥HG，
又∵四边形EFGH是平行四边形，
∴平行四边形EFGH是矩形；
故答案是：AC⊥BD；

（3）当AC⊥BD且AC=BD时，四边形EFGH是正方形．
故答案是：AC⊥BD且AC=BD．

点评 本题主要考查对三角形的中位线定理，平行四边形的判定，解题的关键是正确的构造三角形病正确的运用中位线定理，难度不大．