Question

13．阅读材料：若m²-2mn+2n²-8n+16=0，求m、n的值．
解：∵m²-2mn+2n²-8n+16=0，∴（m-n）²=0，（n-4）²=0
∴（m²-2mn+n²）+（n²-8n+16）=0∴n=4，m=4．
∴（m-n）²+（n-4）²=0，
根据你的观察，探究下面的问题：
（1）已知x²-2xy+2y²+6y+9=0，求xy的值；
（2）已知△ABC的三边长a、b、c都是正整数，且满足a²+b²-10a-12b+61=0，求△ABC的最大边c的值．

Answer 1

分析 （1）根据题意可以求得x、y的值，从而可以求得xy的值；
（2）根据题意可以求得a、b的值，从而可以求得c的取值范围，由a、b、c都是正整数，从而可以求得c的最大值．

解答 解：（1）∵x²-2xy+2y²+6y+9=0，
∴（x²-2xy+y²）+（y²+6y+9）=0，
∴（x-y）²+（y+3）²=0，
∴x-y=0，y+3=0，
解得，x=3，y=-3，
∴xy=3×（-3）=-9；
（2）∵a²+b²-10a-12b+61=0，
∴（a²-10a+25）+（b²-12b+36）=0，
∴（a-5）²+（b-6）²=0，
∴a-5=0，b-6=0，
解得，a=5，b=6，
∴1＜c＜11，
∵△ABC的三边长a、b、c都是正整数，
∴c的最大值是10．

点评 本题考查因式分解的应用，偶数次方、三角形三边的关系，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用偶数次方的性质和三角形三边的关系解答．