Question

12．如图，Rt△ABC中，∠C=90°．
（1）求作：△ABC的内切圆⊙O（不写作法，保留作图痕迹）
（2）若⊙O的半径为2，tan∠A=$\frac{15}{8}$，求AB的长．

Answer 1

分析 （1）∠A与∠B的角平分线的交点即为圆心O，作OE⊥AB于E，以O为圆心，OE为半径画圆，⊙O即为所求；
（2）如图2中，作OD⊥AC于D，OF⊥BC于F，OE⊥AB于E．则四边形ODCF是正方形，边长为2．由tan∠A=$\frac{15}{8}$=$\frac{BC}{AC}$，设BC=15k，AC=8k．可得AB=$\sqrt{A{C}^{2}+B{C}^{2}}$=17k，根据AE+BE=AB，可得方程（15k-2）+（8k-2）=17k，解方程即可；

解答 解：（1）△ACB的内切圆⊙O如图所示；


（2）如图2中，作OD⊥AC于D，OF⊥BC于F，OE⊥AB于E．则四边形ODCF是正方形，边长为2．

∵⊙O是△ABC的内切圆，
∴AE=AD，CF=CD．BE=BF，
∵tan∠A=$\frac{15}{8}$=$\frac{BC}{AC}$，设BC=15k，AC=8k．
∴AB=$\sqrt{A{C}^{2}+B{C}^{2}}$=17k，
∴（15k-2）+（8k-2）=17k，
∴k=$\frac{2}{3}$，
∴AB=$\frac{34}{3}$．

点评 本题考查复杂作图、三角形的内心、解直角三角形、切线长定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．