Question

2．如图，AB为⊙O的直径，点C在⊙O上，过点C作⊙O的切线交AB的延长线于点D，已知∠D=30°．
（1）求∠A的度数；
（2）若点F在⊙O上，CF⊥AB，垂足为E，CF=4$\sqrt{3}$，求DB的长．

Answer 1

分析 （1）由∠D=30°，利用切线的性质可得∠COB的度数，利用外角的性质和等腰三角形的性质可得∠A；
（2）利用等边三角形的判定和性质及切线的性质可得∠BCD，易得BC=BD，由垂径定理得CE的长，在直角三角形COE中，利用锐角三角函数易得OC的长，得BD的长．

解答 解：（1）连结CO，
∵CD切⊙O于C，
∴∠OCD=90°，
又∵∠D=30°，
∴∠COB=60°，
又∵∠A+∠OCA=60°且∠A=∠OCA，
∴∠A=$\frac{1}{2}$∠COB=30°；

（2）连结BC，由（1）可知△OBC是等边三角形，即BC=OC=OB，
∴∠BCD=90°-∠OCB=30°，
∴BC=DB，
又∵直径AB⊥弦CF，
∴直径AB平分弦CF，即CE=$\frac{1}{2}CF=2\sqrt{3}$，
在Rt△OCE中，$sin∠COE=\frac{OE}{OC}$，
∴$OC=\frac{{2\sqrt{3}}}{sin60°}=4$，
∴BD=BC=OC=4．

点评 本题主要考查考了切线的性质，等边三角形的性质及判定，锐角三角函数等，作出适当的辅助线，得出相等的线段是解答此题的关键．