已知抛物线y=-$\frac{1}{3}$x2+$\frac{1}{3}x$+4交x轴于点A.B.交y轴于点C.连接AC.BC．(1)求交点A.B的坐标以及直线BC的解析式,(2)如图1.动点P从点B出发以每秒5个单位的速度向点O运动.过点P作y轴的平行线交线段BC于点M.交抛物线于点N.过点N作NC⊥BC交BC于点K.当△MNK与△MPB的面积比为1:2时.求动点P� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

2．已知抛物线y=-$\frac{1}{3}$x²+$\frac{1}{3}x$+4交x轴于点A、B，交y轴于点C，连接AC、BC．
（1）求交点A、B的坐标以及直线BC的解析式；
（2）如图1，动点P从点B出发以每秒5个单位的速度向点O运动，过点P作y轴的平行线交线段BC于点M，交抛物线于点N，过点N作NC⊥BC交BC于点K，当△MNK与△MPB的面积比为1：2时，求动点P的运动时间t的值；
（3）如图2，动点P 从点B出发以每秒5个单位的速度向点A运动，同时另一个动点Q从点A出发沿AC以相同速度向终点C运动，且P、Q同时停止，分别以PQ、BP为边在x轴上方作正方形PQEF和正方形BPGH（正方形顶点按顺时针顺序），当正方形PQEF和正方形BPGH重叠部分是一个轴对称图形时，请求出此时轴对称图形的面积．

分析（1）令y=0，解方程-$\frac{1}{3}$x²+$\frac{1}{3}x$+4=0即可求出A、B坐标，再利用待定系数法求出直线BC．
（2）如图1中，设P（a，0），只要证明MN=PB，列出方程即可解决问题．
（3）①如图2中，当轴对称图形为筝型时，列出方程求出运动时间即可，②如图3中，当轴对称图形是正方形时，列出方程求出时间即可．

解答解：（1）令y=0，则-$\frac{1}{3}$x²+$\frac{1}{3}x$+4=0，解得x=4或-3，
∴点A坐标（-3，0），点B坐标（4，0），
设直线BC解析式为y=kx+b，把B（4，0）．C（0，4）代入
得$\left\{\begin{array}{l}{b=4}\\{4k+b+0}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{k=-1}\\{b=4}\end{array}\right.$，
∴直线BC解析式为y=-x+4．
（2）如图1中，∵PN∥OC，NK⊥BC，
∴∠MPB=∠MKN=90°，
∵∠PMB=∠NMK，
∴△MNK∽△MPB，
∵△MNK与△MPB的面积比为1：2，
∴BM=$\sqrt{2}$MN，
∵OB=OC，
∴∠PBM=45°，
∴BM=$\sqrt{2}$PB，
∴MN=PB，设P（a，0），则MN=-$\frac{1}{3}$a²+$\frac{1}{3}$a+4+a-4=-$\frac{1}{3}$a²+$\frac{4}{3}$a，BP=4-a，
∴-$\frac{1}{3}$a²+$\frac{4}{3}$a=4-a，
解得a=3或4（舍弃），
∴PB=1，t=$\frac{1}{5}$．
（3）如图2中，当轴对称图形为筝型时，PF=PG，GM=FM，

∵BP=PG=AQ，PQ=PF，
∴AQ=PQ=5t，
过点Q作QN⊥AP，则AN=NP，由△AQN∽△ACQ，
∴$\frac{AQ}{AC}$=$\frac{AN}{AO}$，
∴$\frac{5t}{5}$=$\frac{AN}{3}$，
∴AN=3t，
∴AP=2AN=6t，
∵AP+BP=AB，
∴5t+6t=7，
∴t=$\frac{7}{11}$，
∴PB=PF=$\frac{35}{11}$，
由△ACO∽△FPR∽△MFT，
∴$\frac{FP}{FR}$=$\frac{AC}{AO}$，
∴FR=$\frac{21}{11}$，TF=$\frac{14}{11}$，
∴$\frac{FM}{TF}$=$\frac{AC}{AO}$，
∴FM=$\frac{35}{22}$，
∴S=2×$\frac{1}{2}$×PF×FM=$\frac{1225}{242}$．
②如图3中，当轴对称图形是正方形时，

3t+5t=7，
∴t=$\frac{7}{8}$，
∴S=$\frac{49}{4}$．