Question

5．如图，点C在以AB为直径的⊙O上，AD与过点C的切线垂直，垂足为点D，AD交⊙O于点E
（1）求证：AC平分∠DAB；
（2）连接BE交AC于点F，若$\frac{CD}{AC}$=$\frac{3}{5}$，求$\frac{AF}{FC}$的值．

Answer 1

分析 （1）连接OC，由切线的性质得出DC⊥OC，得出∠ACD+∠ACO=90°，由垂线的性质得出∠ACD+∠DAC=90°，得出∠ACO=∠DAC，再由等腰三角形的性质得出∠OAC=∠ACO，证出∠DAC=∠OAC即可；
（2）由sin∠DAC=$\frac{CD}{AC}$=$\frac{3}{5}$，得出tan∠DAC=$\frac{3}{4}$，设CD=3，则AC=5，AD=4，证明△ACD∽△ABC，得出$\frac{CD}{BC}=\frac{AD}{AC}$，求出BC=$\frac{15}{4}$，求出CF=$\frac{3}{4}$BC=$\frac{45}{16}$，得出AF=AC-CF═$\frac{35}{16}$，即可得出结果．

解答 （1）证明：连接OC，如图所示：
∵DC是⊙O的切线，
∴DC⊥OC，
∴∠ACD+∠ACO=90°，
∵AD⊥DC，
∴∠ACD+∠DAC=90°，
∴∠ACO=∠DAC，
∵OA=OC，
∴∠OAC=∠ACO，
∴∠DAC=∠OAC，
∴AC平分∠DAB；
（2）解：∵AD⊥DC，
∴∠D=90°，
∵sin∠DAC=$\frac{CD}{AC}$=$\frac{3}{5}$，
∴tan∠DAC=$\frac{3}{4}$，
设CD=3，则AC=5，AD=4，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=90°=∠ADC，
∵∠DAC=∠OAC，
∴△ACD∽△ABC，
∴$\frac{CD}{BC}=\frac{AD}{AC}$，即$\frac{3}{BC}=\frac{4}{5}$，
解得：BC=$\frac{15}{4}$，
∵∠CBF=∠DAC，
∴tan∠CBF=$\frac{CF}{BC}$=$\frac{3}{4}$，
∴CF=$\frac{3}{4}$BC=$\frac{45}{16}$，
∴AF=AC-CF=5-$\frac{45}{16}$=$\frac{35}{16}$，
∴$\frac{AF}{FC}$=$\frac{7}{9}$．

点评 本题考查了相似三角形的判定与性质、切线的性质、三角函数、圆周角定理等知识；熟练掌握切线的性质，证明三角形相似是解决问题的关键．