Question

2．观察下列等式：1×$\frac{1}{2}$=1-$\frac{1}{2}$，2×$\frac{2}{3}$=2-$\frac{2}{3}$，3×$\frac{3}{4}$=3-$\frac{3}{4}$，…
（1）猜想并写出第5个等式5×$\frac{5}{6}$=5-$\frac{5}{6}$；第n个等式n×$\frac{n}{n+1}$=n-$\frac{n}{n+1}$．
（2）证明你写出的等式的正确性．

Answer 1

分析 （1）根据给定的等式的变化找出变化规律“n×$\frac{n}{n+1}$=n-$\frac{n}{n+1}$”，依此规律即可得出结论；
（2）利用统分的方法即可得出等式的左边=等式右边，此题得证．

解答 （1）解：观察，发现规律：1×$\frac{1}{2}$=1-$\frac{1}{2}$，2×$\frac{2}{3}$=2-$\frac{2}{3}$，3×$\frac{3}{4}$=3-$\frac{3}{4}$，…，
∴第5个等式为5×$\frac{5}{6}$=5-$\frac{5}{6}$，第n个等式为n×$\frac{n}{n+1}$=n-$\frac{n}{n+1}$．
故答案为：5×$\frac{5}{6}$=5-$\frac{5}{6}$；n×$\frac{n}{n+1}$=n-$\frac{n}{n+1}$．
（2）证明：等式左边=n×$\frac{n}{n+1}$=$\frac{{n}^{2}}{n+1}$，
等式右边=n-$\frac{n}{n+1}$=$\frac{n（n+1）-n}{n+1}$=$\frac{{n}^{2}}{n+1}$=等式左边．
∴第n个等式为n×$\frac{n}{n+1}$=n-$\frac{n}{n+1}$．
证毕．

点评 本题考查了规律型中的数字的变化类，根据数据的变化找出变化规律是解题的关键．