Question

（2005•遵义）已知关于x的一元二次方程x²+（2k-1）x+k²=0
（1）若原方程有两个不相等的实数根，求k的取值范围；
（2）设x₁，x₂是原方程的两个实数根，且

x

2 1

+

x

2 2

=17，求k的值．

Answer 1

分析：（1）根据一元二次方程根的判别式的意义得到△=（2k-1）²-4k²≥0，然后解不等式即可；
（2）根据根与系数的关系得到x₁+x₂=-（2k-1），x₁•x₂=k²，再变形x₁²+x₂²=（x₁+x₂）²-2x₁•x₂，则（2k-1）²-2k²=17，然后解方程得到满足条件的k的值．

解答：解：（1）根据题意得△=（2k-1）²-4k²≥0，解得k≤

1

4

；
（2）根据题意得x₁+x₂=-（2k-1），x₁•x₂=k²，
∵x₁²+x₂²=（x₁+x₂）²-2x₁•x₂，
∴（2k-1）²-2k²=17，解得k₁=1+

10

，k₂=1-

10

，
∵k≤

1

4

，
∴k=1-

10

．

点评：本题考查了一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的根与系数的关系：若方程两个为x₁，x₂，则x₁+x₂=-

b

a

，x₁•x₂=

c

a

．也考查了一元二次方程根的判别式．