Question

某大草原上有一条笔直的公路，在紧靠公路相距40千米的A、B两地，分别有甲、乙两个医疗站，如图，在A地北偏东45°、B地北偏西60°方向上有一牧民区C．一天，甲医疗队接到牧民区的求救电话，立刻设计了两种救助方案，方案Ⅰ：从A地开车沿公路到离牧民区C最近的D处，再开车穿越草地沿DC方向到牧民区C．方案Ⅱ：从A地开车穿越草地沿AC方向到牧民区C．已知汽车在公路上行驶的速度是在草地上行驶速度的3倍．

(1)求牧民区到公路的最短距离CD．

(2)你认为甲医疗队设计的两种救助方案，哪一种方案比较合理？并说明理由．

(结果精确到0.1，参考数据：取1.73，取1.41)

Answer 1

答案：
解析：

解：(1)设CD为x千米，由题意得，∠CBD＝30°，∠CAD＝45°，∴AD＝CD＝x　1分 　　在Rt△BCD中，tan30°＝，所以BD＝x　2分 　　∵AD＋DB＝AB＝40，∴x＋x＝40　分 　　解得x≈14.7 　　所以，牧民区到公路的最短距离CD为14.7千米．　4分 　　(若用分母有理化得到CD＝14.6千米，可得4分) 　　(2)设汽车在草地上行驶的速度为v，则在公路上行驶的速度为3v， 　　在Rt△ADC中，∠CAD＝45°，∴AC＝CD， 　　方案Ⅰ用的时间t1＝　5分 　　方案Ⅱ用的时间t2＝　6分 　　所以，t1－t2＝＝　7分 　　因为3－4＞0， 　　所以t1－t2＞0．　8分 　　所以方案Ⅰ用的时间少，方案Ⅰ比较合理．　9分