Question

如图，AB是⊙O的直径，D为⊙O上一点，CD=BD，DE⊥AC于点E，AC交⊙O于另一点G．
（1）判断DE与⊙O的位置关系，并证明你的结论；
（2）若AB=6，AD=

6

，求AG的长．

Answer 1

分析：（1）连接OD，由于OD=OB，可推知∠1=∠2，易知，△ADC≌△ADB，于是AB=AC，可推知，∠1=∠C，从而得到∠2=∠C，于是有AC∥OD，故∠EDO=∠CED=90°，即可判断DE⊥DO；
（2）由于AB=AC，可推知AC=6，在Rt△ADC中，利用勾股定理求出CD的长，进而求出BD的长，利用割线定理可求出GC的长，GC-AC=AG的长．

解答：解：（1）连接OD，
∵OD=OB，
∴∠1=∠2，
又∵△ADC≌△ADB，
∴AB=AC，
∴∠1=∠C，
∴∠2=∠C，
∴AC∥OD，
∴∠EDO=∠CED=90°，
∴DE⊥DO；
∴DE是⊙O的切线．
（2）∵AB=AC，
∴AC=6，
在Rt△ADC中，
CD=

AC2-AD2

=

62-( 6 )2

=

30

．
∵CA•CG=CD•CB，
即6×CG=

30

×2

30

，
解得，CG=10，
AG=10-6=4．

点评：本题考查了切线的判定、圆周角定理，作出辅助线OD，构造直角三角形，为利用切线的判定定理创造条件是解题的关键．