Question

如图22，将—矩形OABC放在直角坐际系中，O为坐标原点．点A在x轴正半轴上．点E是边AB上的—个动点(不与点A、N重合)，过点E的反比例函数的图象与边BC交于点F。
【小题1】若△OAE、△OCF的而积分别为S₁、S₂．且S₁＋S₂=2，求的值：
【小题2】若OA=2．0C=4．问当点E运动到什么位置时，四边形OAEF的面积最大．其最大值为多少?

Answer 1

【小题1】∵点E、F在函数的图象上，
∴设E（， ），F（，），＞0，＞0，
∴S₁=，S₂=。∵S₁＋S₂=2，∴ 。∴。…………4分
【小题2】∵四边形OABC为矩形，OA=2，OC=4，∴设 E(，2)， F(4，)。∴BE=4－，BF=2－。
∴S_△BEF= ，S△_OCF= ，S_矩形OABC=2×4=8，
∴S_{四边形OAEF}=S_矩形OABC－S_△BEF－S_△OCF= 8－()－=。
∴当=4时，S_{四边形OAEF}=5。∴AE=2。
∴当点E运动到AB的中点时，四边形OAEF的面积最大，最大值是5。…………………10分解析:
（1）设E（x₁，），F（x₂，），x₁＞0，x₂＞0，根据三角形的面积公式得到S₁=S₂=k，利用S₁+S₂=2即可求出k；
（2）设E(，2)，F(4，)，利用S_{四边形OAEF}=S_矩形OABC-S_△BEF-S_△OCF=- (k-4)²+5，根据二次函数的最值问题即可得到当k=4时，四边形OAEF的面积有最大值，S_{四边形OAEF}=5，此时AE=2．